P14738 [ICPC 2021 Seoul R] Grid Triangle

在三维网格中，**格点三角形**指由三个整点构成、且其中一个整点为原点 $(0,0,0)$ 的三角形，并满足如下性质： 存在三个互不相同的正整数 $X, Y, Z$，使得对于该三角形的任意一对顶点，都可以将一个尺寸为 $X \times Y \times Z$ 的长方体在三个坐标轴方向上平移和旋转（即把长方体的三条边分别重新对应到 $x,y,z$ 轴），并在保证长方体的三条边分别与对应的坐标轴平行的前提下，使得这对点恰好成为该长方体的**一对对角顶点（也就是距离最远的一对顶点）**。 例如，由三点 $(0,0,0)$、$(1,2,3)$、$(-2,3,1)$ 构成的三角形就是一个格点三角形，其对应的长方体尺寸为 $1 \times 2 \times 3$。具体来说： * 两点 $(1,2,3)$ 与 $(-2,3,1)$ 是长方体 $$ \{(x,y,z)\mid -2 \le x \le 1,\ 2 \le y \le 3,\ 1 \le z \le 3\} $$ 的一对对角顶点，该长方体尺寸为 $3 \times 1 \times 2$； * 两点 $(0,0,0)$ 与 $(1,2,3)$ 是长方体 $$ \{(x,y,z)\mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2,\ 0 \le z \le 3\} $$ 的一对对角顶点，该长方体尺寸为 $1 \times 2 \times 3$； * 两点 $(0,0,0)$ 与 $(-2,3,1)$ 是长方体 $$ \{(x,y,z)\mid -2 \le x \le 0,\ 0 \le y \le 3,\ 0 \le z \le 1\} $$ 的一对对角顶点，该长方体尺寸为 $2 \times 3 \times 1$。 并且，这三个长方体都与网格坐标轴平行。 你的任务是：在给定边界的三维网格中，计算满足上述条件的格点三角形的数量。边界由三个正整数 $A,B,C$ 给出，要求三角形的所有点都必须位于集合 $$ \{(x,y,z)\mid -A \le x \le A,\ -B \le y \le B,\ -C \le z \le C\} $$ 之内。

你的程序需要从标准输入读取数据。输入恰好为一行，包含三个整数 $A, B, C$（$1 \le A, B, C \le 10,000,000$）。

你的程序需要向标准输出写入数据。输出恰好一行。该行应包含在由 $A, B, C$ 界定的三维网格内的格点三角形的数量。

由 ChatGPT 5.2 翻译