P15569 [COCI 2025/2026 #5] 结构 / Struktura

本题满分 $110$。

Petar 和 Ivana 在漫长的冬日下午感到无聊，于是发明了一个数字游戏。 Petar 在纸上随机写下 $n$ 个数，每个数都**独立地、等概率地**从 $1$ 到 $k$ 之间选择，形成数组 $a$。 Ivana 说她特别喜欢某些数组，因为它们有一种“隐藏的平衡”，她称这种数组为**结构（structure）**。当且仅当满足以下条件时，数组 $a$ 是结构： - 整数 $1,2,\dots,n$ 在数组中各出现恰好一次。 - 对每个下标 $i$（$1 \le i \le n$），都有 $|a_i + i - n - 1| \le 1$。 Ivana 想知道：Petar 完全随机生成数组 $a$ 时，得到结构的概率是多少。 可以证明答案总能表示为分数 $\dfrac{P}{Q}$，其中 $P$ 为整数，$Q$ 为正整数且不被 $10^9+7$ 整除。

输入一行两个自然数 $n,k$（$1 \le n,k \le 10^9$）。

输出一个整数，表示所求概率在模 $10^9+7$ 意义下的值。

#### 【样例解释】 样例 #2 解释： Petar 可能写出的数组共有 $2^2=4$ 个：$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。其中结构是 $(1,2)$ 与 $(2,1)$，概率为 $\dfrac{2}{4}$，因此输出 $2 \cdot 4^{-1} \bmod (10^9+7)=500000004$。 #### 【子任务】 | 子任务 | 分值 | 限制 | | :----: | :--: | :--: | | $1$ | $17$ | $n,k \le 7$ | | $2$ | $23$ | $n \le 7$，$k \le 100$ | | $3$ | $19$ | $n \le 20$，$k \le 100$ | | $4$ | $25$ | $n,k \le 10^6$ | | $5$ | $26$ | 无额外限制 |