P15918 [TOPC 2023] Better Chance

近年来，ICPC 社群在全球范围内不断扩展，每年有来自 111 个国家、3450 所大学的参与，涉及 75000 名队员、教练和志愿者。然而需要注意的是，每年仅有约 130 支队伍有机会晋级 ICPC 世界总决赛。具体而言，在 2023 年 ICPC 世界总决赛中，仅有 16 支队伍来自亚太地区。在 2022 年 ICPC 亚太区域赛中，共有超过 1800 支队伍、来自 283 所大学参赛，令人印象深刻。遗憾的是，其中超过 99% 的队伍未能从区域赛中晋级。 ICPC 亚太地区引入了亚太区附加赛，作为队伍参加 2024 年 ICPC 世界总决赛选拔过程中的新层级。与区域赛相比，该附加赛代表了更高水平的竞技。2024 年，首届亚太区附加赛将在越南河内举行。根据 ICPC 亚太区规则部分的规定，约 66 支队伍将通过该附加赛获得参赛资格。这一扩展确保了在未来几年中，更多队伍将有机会参与更高水平的竞赛。 由于 ICPC 亚太区附加赛的引入，ICPC 亚太区规则发生了重大变化。在阅读新规则后，你发现可以参加 2023 年的两场区域赛，从而增加晋级附加赛的机会。你的队伍计划参加 2023 年 ICPC 桃园区域赛和 ICPC 雅加达区域赛。假设两场区域赛的 *重新计算队伍排名* 和 *站点得分* 均已知，请编写一个程序，确定你的队伍在哪场区域赛中晋级的希望更大。 （注意：*重新计算队伍排名* 和 *站点得分* 的定义可在 ICPC 亚太区规则部分找到。）

输入的第一行包含四个空格分隔的数字 $R_T$、$R_J$、$S_T$、$S_J$。$R_T$ 和 $R_J$ 分别是你们队伍在桃园区域赛和雅加达区域赛的 *重新计算队伍排名*。$S_T$ 和 $S_J$ 分别是桃园区域赛和雅加达区域赛的站点得分。

如果你们队伍在桃园区域赛中晋级的希望更大，则输出 `TAOYUAN`。如果在雅加达区域赛中晋级的希望更大，则输出 `JAKARTA`。如果两者机会相同，则输出 `SAME`。

### ICPC 亚太区规则 以下规则不适用于来自南太平洋地区（澳大利亚、新西兰等）的队伍。世界总决赛队伍将从南太平洋独立区域赛中选出，与亚太地区其他区域赛无关。 #### 亚太区域赛基本规则 A1. 一支队伍最多可参加两场区域赛。 A2. 如果区域赛设有预选赛，则来自该区域赛主办国的队伍必须通过相应的预选赛才能获得参加区域赛的资格。 A3. 区域赛应接受来自亚太地区其他国家的队伍。每场区域赛可设定外国队伍的上限。区域赛主办方可制定相应的规则来选拔接受的外国队伍。 A4. 区域赛也可接受来自南太平洋以及其他超级区域（如东亚）的队伍。这些队伍永远不能通过亚太区域赛晋级世界总决赛。 A5. 来自区域赛主办国的队伍不应参加其他国家的两场区域赛。 #### 世界总决赛选拔规则（第一部分） B1. 每场区域赛的冠军队伍直接晋级世界总决赛。此处“冠军”定义为排除来自其他超级区域或南太平洋地区的队伍后排名最高的队伍。 B2. 如果同一所大学有两支或以上的队伍在不同区域赛中夺冠，则只有其中一支队伍能晋级世界总决赛。该大学应选择其中一支。或者，该大学可让这些队伍参加附加赛，从中选拔一支晋级世界总决赛。（这些队伍将被邀请参加附加赛。参见 D1。） B3. 如果来自同一所大学的某支冠军队伍将根据规则 B2 通过附加赛选拔，则附加赛中排名最高的队伍将晋级世界总决赛，无论其他大学队伍在附加赛中的排名如何。 #### 区域赛的站点得分 C1. 对于每场区域赛，其“站点得分” $S$ 定义如下： $$ \begin{aligned} S = & \ 0.56 \times \text{该区域赛的大学数量} \\ & + 0.24 \times \text{该区域赛的队伍数量} \\ & + 0.14 \times \text{预选赛的大学数量} \\ & + 0.06 \times \text{预选赛的队伍数量} \\ & + 0.30 \times \text{该区域赛的外国队伍数量} \end{aligned} $$ 此处，只计入至少解决一道题目的队伍。来自南太平洋地区及其他超级区域的队伍也计入（不予排除）。 （注）上述公式摘自 2020 年以来亚太地区世界总决赛队伍选拔规则。 ### 附加赛选拔规则 D1. 区域赛冠军队伍将作为公开参赛队伍被邀请参加附加赛。他们在附加赛中的表现不影响其世界总决赛资格。若队伍因规则 B2 和 B3 而参加附加赛，则属例外。 （注）来自冠军大学的队伍中，只有冠军队伍可以参加附加赛。其他队伍（区域赛中排名第二或更低）不允许参赛。 （注）冠军队伍会被计入附加赛排名，但在下述 E1(1) 中会被移除，不影响其他大学队伍的晋级资格。 D2. 对每场区域赛的排名依次执行以下步骤。（下文称该区域赛为 X。） (1) 从排名中移除来自南太平洋地区及其他超级区域的队伍。 (2) 从排名中移除未解决任何题目的队伍。只保留至少解决一道题目的队伍。 (3) 保留前一步骤后排名前 $50\%$ 的队伍（向上取整），移除排名更低的队伍。这意味着后 $50\%$ 的队伍永远不能晋级附加赛。 （注）步骤 (3) 的目的是决不允许区域赛排名下半区的队伍参加附加赛。此步骤仅在极少数情况下有效。例如，来自代表性不足的国家的队伍只有进入上半区排名才能获得资格。参见 D3(3)。 (4) 从排名中移除冠军大学的队伍。此处，冠军大学指冠军队伍（见 B1）所属的大学。该冠军队伍可能是区域赛 X 的冠军，也可能是其他区域赛的冠军。 (5) 从排名中移除每所大学排名第四及更低的队伍。 （注）参加附加赛的同一所大学队伍数最多为 $3$ 支。参见 D3(2)。 (6) 对剩余的每支队伍重新计算其排名。设 $R$ 为某支队伍的重新计算排名。为该排名中的每支队伍分配以下数值： $$ (R - 1)/S $$ 其中 $S$ 是区域赛 X 的站点得分（定义见上文 C1）。 （注）该定义及后续步骤基于 Shieh-Ishihata 公式。该公式曾是新冠疫情前亚太地区世界总决赛队伍选拔规则的主要部分。 D3. 合并来自亚太地区所有区域赛的队伍列表，并对合并后的列表依次执行以下步骤： (1) 按上述分配数值的升序对合并后的列表排序。 (2) 如果出现同一支队伍的第二个实例，则将其移除。然后，移除同一所大学队伍的第四个及之后的实例。这意味着同一所大学最多有三支队伍获得资格。 （注）排名第四及更低的队伍已在 D2(5) 中被移除，但此步骤仍属必要。 (3) 从每个亚太国家中，选出一支数值最小的队伍。这支队伍将获得附加赛资格。 （注）这是针对代表性不足国家的“外卡”规则。每个国家至少有一支队伍获得资格。但有一个条件：该队伍必须在区域赛中排名前一半。参见 D2(3)。 (4) 设 $P$ 为附加赛的参赛队伍数。从数值最小的队伍开始扫描列表，跳过已在步骤 (3) 中被选中的队伍，逐一选择队伍，直到选中的队伍数达到 $P$。这些队伍将获得附加赛资格。 D4. 当需要增补队伍时，即当已获资格的队伍拒绝参加附加赛时，从所有区域赛的排名中移除该队伍，并重新应用规则 D2（进而重新应用 D3）。 （注）在 D4 的情况下，不重新计算站点得分。 （注）拒绝参加附加赛的队伍不会受到任何处罚。 #### 世界总决赛选拔规则（第二部分） E1. 首先根据上述 B1–B3 规则选拔世界总决赛队伍。然后，根据以下步骤，选拔附加赛中排名最高的队伍。 (1) 在附加赛排名中移除公开参赛状态的队伍（即区域赛冠军队伍）。 (2) 在附加赛排名中移除同一所大学排名第二及更低的队伍。 (3) 设 $N$ 为分配给亚太地区的世界总决赛名额数，$M$ 为根据 B1–B3 已晋级世界总决赛的队伍数。则修改后排名中前 $N - M$ 支队伍将晋级世界总决赛。 翻译由 DeepSeek V3.2 完成