P16060 [CSPro 24] 序列查询新解

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上一题“序列查询”中说道：$A = [A_0, A_1, A_2, \cdots, A_n]$ 是一个由 $n + 1$ 个 $[0, N)$ 范围内整数组成的序列，满足 $0 = A_0 < A_1 < A_2 < \cdots < A_n < N$。基于序列 $A$，对于 $[0, N)$ 范围内任意的整数 $x$，查询 $f(x)$ 定义为：序列 $A$ 中**小于等于** $x$ 的整数里**最大的数的下标**。 对于给定的序列 $A$ 和整数 $x$，查询 $f(x)$ 是一个很经典的问题，可以使用二分搜索在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内轻松解决。但在 IT 部门讨论如何实现这一功能时，小 P 同学提出了些新的想法。 小 P 同学认为，如果事先知道了序列 $A$ 中整数的分布情况，就能直接估计出其中小于等于 $x$ 的最大整数的大致位置。接着从这一估计位置开始线性查找，锁定 $f(x)$。如果估计得足够准确，线性查找的时间开销可能比二分查找算法更小。 比如说，如果 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 均匀分布在 $(0, N)$ 的区间，那么就可以估算出： $$ \begin{aligned} f(x) \approx \frac{(n + 1) \cdot x}{N} \end{aligned} $$ 为了方便计算，小 P 首先定义了比例系数 $r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor$，其中 $\lfloor \rfloor$ 表示下取整，即 $r$ 等于 $N$ 除以 $n + 1$ 的商。进一步地，小 P 用 $g(x) = \lfloor \frac{x}{r} \rfloor$ 表示自己估算出的 $f(x)$ 的大小，这里同样使用了下取整来保证 $g(x)$ 是一个整数。 显然，对于任意的询问 $x \in [0, N)$，$g(x)$ 和 $f(x)$ 越接近则说明小 P 的估计越准确，后续进行线性查找的时间开销也越小。因此，小 P 用两者差的绝对值 $|g(x) - f(x)|$ 来表示处理询问 $x$ 时的误差。 为了整体评估小 P 同学提出的方法在序列 $A$ 上的表现，试计算： $$ \begin{aligned} error(A) = \sum_{i=0}^{N-1} |g(i) - f(i)| = |g(0) - f(0)| + \cdots + |g(N - 1) - f(N - 1)| \end{aligned} $$

从标准输入读入数据。 输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $N$。 输入的第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $A_1, A_2, \cdots, A_n$。 注意 $A_0$ 固定为 $0$，因此输入数据中不包括 $A_0$。

输出到标准输出。 仅输出一个整数，表示 $error(A)$ 的值。

### 样例1解释 $A = [0, 2, 5, 8]$ $r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{3+1} \rfloor = 2$ | $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | | $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 | | $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 注：表格中空白单元格表示该行在该列无对应值（或为省略），实际计算时按需填充。根据题意，$g(i)$ 和 $|g(i)-f(i)|$ 应对所有 $i=0$ 到 $9$ 有定义，此处按原图结构保留空格，但完整计算应补全： - $g(0) = \lfloor 0/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$ - $g(1) = \lfloor 1/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$ - $g(2) = \lfloor 2/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$ - $g(3) = \lfloor 3/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$ - $g(4) = \lfloor 4/2 \rfloor = 2$, $|2-1|=1$ - $g(5) = \lfloor 5/2 \rfloor = 2$, $|2-2|=0$ - $g(6) = \lfloor 6/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$ - $g(7) = \lfloor 7/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$ - $g(8) = \lfloor 8/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$ - $g(9) = \lfloor 9/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$ 因此总和为：$0+0+0+0+1+0+1+1+1+1 = 5$ 即 $error(A) = 5$ ### 样例 3 解释 $A = [0, 1, 3]$ $r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{2+1} \rfloor = 3$ | $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | | $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 | | $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ### 子任务 $70\%$ 的测试数据满足 $1 \leq n \leq 200$ 且 $n < N \leq 1000$； 全部的测试数据满足 $1 \leq n \leq 10^5$ 且 $n < N \leq 10^9$。 ### 提示 需要注意，输入数据 $[A_1 \cdots A_n]$ 并不一定均匀分布在 $(0, N)$ 区间，因此总误差 $error(A)$ 可能很大。