P16845 [GKS 2021 #C] Smaller Strings

给定一个整数 $K$ 和一个长度为 $N$ 的字符串 $S$，$S$ 由英文字母表前 $K$ 个小写字母组成。求有多少个长度为 $N$ 的回文串，其字典序小于 $S$，并且仅由英文字母表前 $K$ 个小写字母组成。 由有序字母 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 组成的字符串在字典序上小于另一个等长的字符串 $b_1, b_2, \dots, b_n$，如果存在第一个位置 $i$ 使得 $a_i < b_i$。例如，以下字符串按字典序递增排列：`aaa`、`aab`、`aba`、`cab`。 回文串是指正着读和反着读都相同的字符串。例如，`anna`、`racecar`、`aaa` 和 `x` 都是回文串，而 `ab`、`frog` 和 `yoyo` 不是。 由于这样的字符串数量可能非常大，请输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

输入的第一行给出测试用例的数量 $T$。接下来有 $T$ 个测试用例。 每个测试用例由两行组成。第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。第二行包含一个长度为 $N$ 的字符串 $S$，由小写字母组成。

对于每个测试用例，输出一行，格式为 `Case #x: y`，其中 $x$ 是测试用例编号（从 $1$ 开始），$y$ 是字典序更小的回文串的数量对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

在样例 #1 中，回文串有 `["aa", "bb"]`。 在样例 #2 中，回文串有 `["aaaaa", "aabaa", "aacaa", "aadaa", "aaeaa", "ababa", "abbba", "abcba"]`。 在样例 #3 中，回文串有 `["a", "b", "c"]`。 ### 限制条件 $1 \le T \le 100$。 字符串 $S$ 由英文字母表前 $K$ 个小写字母组成。 **测试集 1** $1 \le N \le 8$。 $1 \le K \le 5$。 **测试集 2** $1 \le N \le 10^5$。 $1 \le K \le 26$。 翻译由 DeepSeek V4 Pro 完成