P16846 [GKS 2021 #C] Alien Generator

宇航员已经登陆到一个名为 Kickstartos 的新行星。他们在行星上发现了一台机器：一个能产生金条的生成器。该生成器的工作方式如下：第一天，宇航员向生成器输入一个正整数 $K$。当天生成器将产生 $K$ 根金条。第二天，它将产生 $K + 1$ 根，第三天产生 $K + 2$ 根，以此类推。形式化地说，在第 $i$ 天，生成器将产生 $K + i - 1$ 根金条。 然而，宇航员也知道生成器有一个限制：如果在某一天，生成器在所有天数中累积产生的金条总数会超过 $G$，那么它将在当天发生故障，并且从当天及之后都将产生 $0$ 根金条。宇航员希望避免这种情况，因此他们希望恰好产生 $G$ 根金条。 考虑 $K = 2$ 且 $G = 8$ 的情况。第一天，生成器会产生 $2$ 根金条。第二天，生成器会再产生 $3$ 根金条，使总金条数达到 $5$。第三天，生成器会产生 $4$ 根金条，这会使总金条数达到 $9$。因此，生成器会在第三天产出 $4$ 根金条之前发生故障。所以在该情况下，生成的金条总数为 $5$。 形式化地说，对于给定的 $G$，宇航员想知道有多少个可能的 $K$ 值（第一天输入的）最终能使生成器恰好产生 $G$ 根金条。

输入的第一行给出测试用例的数量 $T$。接下来有 $T$ 行。 每行包含一个整数 $G$，表示生成器最多能产生的金条数。

对于每个测试用例，输出一行，格式为 `Case #x: y`，其中 $x$ 是测试用例编号（从 $1$ 开始），$y$ 是第一天输入的 $K$ 的可能值的个数，这些 $K$ 值最终能恰好产生 $G$ 根金条。

对于样例 #1，有 $2$ 个可能的 $K$ 值（$1$ 和 $10$）最终能恰好产生 $10$ 根金条。对于 $K = 1$，我们将在 $4$ 天后得到 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 根金条；对于 $K = 10$，我们只需 $1$ 天即可得到 $10$ 根金条。 对于样例 #2，有 $4$ 个可能的 $K$ 值（$8$、$23$、$62$ 和 $125$）最终能恰好产生 $125$ 根金条。 ### 限制条件 $1 \le T \le 100$。 **测试集 1** $1 \le G \le 10^4$。 **测试集 2** 最多 $20$ 个测试用例满足 $1 \le G \le 10^{12}$。 其余测试用例满足 $1 \le G \le 10^4$。 翻译由 DeepSeek V4 Pro 完成