P16856 [GKS 2021 #E] Increasing Sequence Card Game

你正在玩一个单人卡牌游戏。 有 $N$ 张牌，第 $i$ 张牌上写着整数 $i$。 你首先将 $N$ 张牌随机洗牌，并叠成一堆。取出堆顶的牌放入手中。然后重复以下过程，直到牌堆为空： 1. 查看牌堆顶的牌。 2. 如果这张牌上的数字大于你上一次拿走的牌上的数字，则取走这张牌。 3. 否则，弃掉这张牌。 游戏的得分是最终手中牌的数量。给定牌的张数 $N$，求游戏的期望得分。

输入的第一行包含测试用例的数量 $T$。接下来有 $T$ 行，每行包含一个整数 $N$，表示牌堆中牌的张数。

对于每个测试用例，输出一行，格式为 `Case #x: y`，其中 $x$ 是测试用例编号（从 $1$ 开始），$y$ 是游戏结束时的期望得分。 若 $y$ 与正确答案的绝对误差或相对误差在 $10^{-6}$ 以内，则认为正确。

### 限制条件 $1 \le T \le 100$。 **测试集 1** $1 \le N \le 10$。 **测试集 2** $1 \le N \le 10^6$。 **测试集 3** $1 \le N \le 10^{18}$。 翻译由 DeepSeek V4 Pro 完成