P16928 聚魔石

:::info[题目背景] 山风从北面的岩脊吹下来时，已经带上了矿尘与寒意。 通往山麓的小路并不宽，两侧生着低矮的灰绿色灌木，叶片边缘被秋霜咬得发白。远处的天空澄净得近乎透明，几只黑羽鸟贴着山壁盘旋，偶尔发出短促的鸣叫，又很快被风声吞没。芙莉莲走在最前面，长杖轻轻点过石地，斗篷下摆随着步伐缓缓摇晃。对她而言，这样的路并不算长，连风里一年比一年更重的凉意，也只是季节在重复自己而已。 「再往前一点，就是罗泽玛矿镇了。」她望着前方升起的几缕灰白色烟柱，语气平静得像是在说一件再寻常不过的事。 菲伦抬起头，看见群山之间嵌着一片暗褐色的屋顶。那座城镇依山而建，石墙、炉塔、运输矿石的轨车，还有终日不熄的熔炉，把整个镇子都染成了一种沉稳的铁色。即使隔着一段距离，也能隐约听见金属敲击的回音，一下，一下，像某种缓慢而顽固的心跳。 「就是那个以聚魔石闻名的地方吗？」菲伦问。 「嗯。」芙莉莲点了点头，「这一带的矿脉很特别。只有这里产出的矿石，才能打磨出足够稳定的聚魔石。能够储存魔力，也能让魔法在释放时更完整一些。对于要去危险地方的人来说，算是很方便的东西。」 「听上去很贵啊……」休塔尔克把背上的行囊往上提了提，脸上露出一点复杂的神色，「我们真的有必要买很多吗？」 芙莉莲停下脚步，回头看了他一眼。 「有必要。」她说，「因为我们接下来要去的地方，是『沉星书库』。」 风恰好在这时穿过山谷，吹得路边的枯草一起伏低。菲伦安静了片刻。那个名字她已经听芙莉莲提过几次——埋藏在群山更深处的古代迷宫，据说最初是某位宫廷大魔法师为了封存禁忌魔导书而建。后来王国覆灭，守卫者消失，只剩下层层叠叠的回廊、失落的术式、以及至今仍未散去的魔力残响。即使过去了漫长的岁月，仍旧不断有冒险者在那里失踪。 「里面……很危险吗？」休塔尔克小声问。 「嗯，很危险。」芙莉莲答得很干脆，「大概比你想的还要麻烦一点。」 她说这句话的时候，神情没有什么变化，就好像只是在评价今天的风比昨天更冷一些。可正因为如此，菲伦反而更能感觉到那座迷宫的凶险。能让芙莉莲用这样平淡的语气说出「麻烦」，往往都不是什么可以轻易解决的事。 下山的路渐渐变缓，矿镇的轮廓也一点点清晰起来。街道由粗糙的黑石铺成，车辙压出深深浅浅的痕迹。房屋的窗框上挂着防尘的厚布，门前堆着尚未分拣的矿石，闪着黯淡而冷硬的光。穿着皮围裙的工匠从熔炉边走过，靴底带起细碎的金属粉末。空气里混杂着煤火、矿砂与热铁的味道，沉甸甸地落在人身上，让人不由得想起那些埋在地底深处、被岁月压了几百上千年的东西。 芙莉莲站在镇口，看了一会儿那座忙碌的小镇。 「真少见啊，」她轻声说，「和五十年前比，居然没怎么变。」 「这不是很正常吗？」休塔尔克愣了一下。 菲伦没有说话，只是悄悄看了芙莉莲一眼。对人类来说，五十年已经足够让孩子长大，让店铺易主，让一条街换掉全部的招牌。可对眼前这位活过漫长岁月的精灵而言，那或许真的只是一次不太久的分别。 「先去买聚魔石吧。」菲伦把话题拉了回来，「既然只有这里才能买到，就该在进迷宫前准备充足。」 「嗯。」芙莉莲迈开步子，银发在风里轻轻拂动，「『沉星书库』里，有很多东西都喜欢吞掉别人的魔力。到时候还能稳稳把魔法用出来，会方便很多。」 「总觉得你说得很轻松啊……」休塔尔克叹了口气，还是跟了上去。 镇中的钟声恰好在此刻响起，低沉而悠长，惊起屋檐上的灰羽雀。三人的身影穿过被煤烟熏暗的街道，走向那间传说中出售聚魔石的老铺。炉火在店门深处明明灭灭，像是某种不曾熄灭的预兆。 而通往迷宫的旅途，也正是从这里开始的。

芙莉莲一行人购买了 $n$ 个聚魔石，并排成了一排，编号为 $1\sim n$。每个聚魔石都有一个魔力存储量 $p_i$ 和存储容易度 $w_i$，其中 $p$ 是一个 $1\sim n$ 的排列，$w_i$ 为正整数。 最初，芙莉莲将魔力注入了编号为 $s$ 的聚魔石并使其充能，随着魔力的不断注入，魔力会逐渐从已充能的聚魔石流向相邻未充能的聚魔石。具体地，假设编号为 $[l, r]$ 之间的聚魔石均已充能，那么： - 如果 $l = 1$，则只有编号为 $r+1$ 的聚魔石会被充能； - 如果 $r = n$，则只有编号为 $l-1$ 的聚魔石会被充能； - 否则，编号为 $l - 1$ 的聚魔石会以 $\frac{w_{l-1}}{w_{l-1} + w_{r+1}}$ 的概率被充能，编号为 $r + 1$ 的聚魔石会以 $\frac{w_{r+1}}{w_{l-1} + w_{r+1}}$ 的概率被充能。 在一次充能过程中，如果新充能的一个聚魔石的魔力存储量严格大于先前所有已充能的聚魔石的魔力存储量，那么聚魔石会发生一次共鸣，使得魔力导出可以更加顺畅。 芙莉莲想知道，在这次充能过程中，发生共鸣的期望次数是多少呢？答案对 $998244353$ 取模。 **最初的在 $s$ 位置的充能算是发生了一次共鸣。**

第一行包含两个整数 $n, s (1\leq s\leq n\leq 2\times 10^3)$，表示聚魔石的数量和初始充能的聚魔石编号。 第二行包含 $n$ 个整数 $p_1, p_2, ..., p_n (1\leq p_i\leq n)$，表示每个聚魔石的魔力存储量，数据保证 $p$ 是一个$1\sim n$的排列。 第三行包含 $n$ 个整数 $w_1, w_2, ..., w_n (1\leq w_i\leq 10^9)$，表示每个聚魔石的存储容易度，数据保证对于任意 $i\neq j$，有 $w_i + w_j \not\equiv 0 \pmod{998244353}$。

输出一行，包含一个整数，表示发生共鸣次数的期望值，答案对 $998244353$ 取模。

在模 $p$ 意义下，若存在整数 $x$ 使得 $a\times x\equiv 1 \pmod{p}$，则称 $x$ 为 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元，记作 $a^{-1}$ ，因此，对有理数$\frac{a}{b}$ 而言，在模 $p$ 意义下的值定义为 $a\times b^{-1}$ 。 --- :::info[题目背景] 暮色降临时，罗泽玛矿镇的炉火一盏盏亮了起来。橙红色的光映在石板街上，也映在柜台上整齐摆放的聚魔石表面，那些原本沉静的矿石，如今已经被魔力充盈，正散发着柔和而稳定的微光，像一簇簇被封存在石中的星火。菲伦小心地将它们收入行囊，指尖拂过石面时，还能感受到其中缓慢流动的温热魔力。休塔尔克检查着绳索、干粮与武具，把最后一件行装扣紧，长长地吐出一口气。芙莉莲则只是安静地站在门外，抬头望着群山尽头渐渐暗下去的天色，目光平静得像是早已看过无数次这样的出发。 「准备好了？」她轻声问。 「嗯。」菲伦点了点头。 「随时都可以出发。」休塔尔克也应了一声。 夜风穿过镇外的林地，带来潮湿的草木气息。三人没有再多说什么，只是在短暂的静默后，沿着通往北方的小径缓缓前行。树影在月色下交错摇曳，森林深处一片幽暗，仿佛将一切声息都悄悄收拢。而在那片沉默的尽头，「沉星书库」正静静等待着他们的到来。