P17050 [NWERC 2022] 翻瓶挑战 / Bottle Flip

译自 [Northwestern Europe Regional Contest (NWERC) 2022](https://2022.nwerc.eu) Problem B。 原题许可协议为 CC BY-SA。

2022 年，**翻瓶挑战** 终于传到了地球上的最后一批人那里：NWERC 评审团。你可能知道，这个挑战的目标是把一瓶水在空中翻转 $360^\circ$，并希望它落地后能够直立。下图展示了一次成功的翻瓶。 :::align{center}  ::: 图：三瓶装有不同水量的瓶子。 经过许多次失败尝试后，我们发现：如果瓶子里装着恰到好处的水量，这件事会明显更容易。简单来说，这是因为水量会影响瓶子即将落地时的质心。为完整起见，质心定义为一个唯一的点：可以把整个瓶子的质量都集中到这个点，而不会改变瓶子对重力的反应，无论瓶子的朝向如何。注意，我们隐含假设水会停留在瓶子的底部。这一定义与直觉上“质心”的含义完全一致。 较低的质心会让瓶子落地后更容易保持直立。不幸的是，最佳水量取决于瓶子本身，而我们已经在这个挑战上浪费了足够多的时间…… :::align{center}  ::: 图：一次翻瓶的示意图。瓶子大约装到 $33\%$，以降低挑战难度。 给定我们的瓶子是一个高度为 $h$、半径为 $r$ 的理想圆柱，请确定瓶子应该装入多少水，才能使成功完成翻瓶的机会最大。你可以假设瓶子内的水和空气都具有均匀密度，并且瓶子本身的重量可以忽略不计。

输入包含一行四个整数 $h$、$r$、$d_a$ 和 $d_w$（$1 \leq h,r,d_a,d_w \leq 1000$，$d_a < d_w$），其中 $h$ 和 $r$ 分别是瓶子的高度和半径，$d_a$ 和 $d_w$ 分别是空气和水的密度。

输出一个高度，使得把瓶子装水到这个高度时，瓶子直立放置时的质心尽可能低。你的答案允许绝对或相对误差至多 $10^{-6}$。

【数据规模与约定】 对于所有数据，满足 $1 \leq h,r,d_a,d_w \leq 1000$，且 $d_a < d_w$；答案允许绝对或相对误差至多 $10^{-6}$。