P17221 [ICPC 2017 Nanning R] Resonators

:::align{center}  ::: 日光岛作为一道传送门，是一座重要的军事要塞，坐落于东海之上。数名最精锐的特工成功登岛，占领了传送门，并暂时宣告了战斗的胜利。 为了加固传送门，他们在门周围部署了 $N$ 个谐振器。传送门的中心位于 $(0, 0)$。每个谐振器占据一个圆形区域。第 $i$ 个谐振器的中心为 $(x_i, y_i)$，半径为 $r_i$。这些圆形区域可能会重叠。 总防御能力定义为：所有被至少一个谐振器覆盖的位置到传送门中心 $(0,0)$ 的平方距离之和。也就是说，如果存在一个足够小的区域被至少一个谐振器覆盖，该区域所提供的防御能力即为该区域的面积乘以它到中心 $(0,0)$ 的平方距离。 若记 $\Omega$ 为所有谐振器的并集，即若干圆形的并集，则该传送门的总防御能力实际上就是如下积分的结果： $$ \int_{\Omega} |v|^2 ds = \int_{\Omega}{(x^2 + y^2)} dx dy. $$ 作为情报总指挥，你的任务就是计算该传送门的总防御能力。

输入包含多个测试用例，第一行给出测试用例的数量，最多不超过 $50$ 个。 对于每个测试用例，第一行包含一个整数 $N$ ($N \le 1000$)，表示部署的谐振器总数。接下来的 $N$ 行描述这些谐振器，第 $i$ 行包含三个整数 $x_i$、$y_i$ 和 $r_i$，其中 $|x_i|, |y_i| \le 100$，$1 \le r_i \le 5$。

对于每个测试用例，输出防御能力，四舍五入保留三位小数。

对于样例中的第一个测试用例，答案为 $$ \int_{-1}^{1} \int_{ -\sqrt{1-x^2} }^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2) = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $$ 第二个测试用例的答案是以下两部分之和： $$ \int_{-1}^{1/2} \int_{ -\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{x-x^x}} (x^x+y^2)dydx \approx 1.15545 $$ 以及 $$ \int_{1/2}^{2} \int_{ -\sqrt{1-(x-1)^2} }^{\sqrt{1-(x-1)^2}} (x^2+y^2)dydx \approx 4.54888 $$ 翻译由 DeepSeek V4 Pro 完成