P17369 [ECNA 2023] Convex Hull Extension

Hugh Klidd 博士是一位几何专家，最近沉迷于研究凸包。回顾一下：对于 $x$-$y$ 平面上的一个点集，凸包是包含所有这些点的最小凸多边形。（凸多边形具有这样的性质：任取多边形内部或边界上的两点，连接它们的线段都完全位于多边形内部或边界上。） Klidd 博士刚刚求出了点集 $S$ 的凸包，记作 $H(S)$，并且对结果十分满意： - 凸包有 $n\ge 3$ 个顶点； - 每个顶点的坐标都是整数； - 凸包的任意三个顶点均不共线。 然而，Klidd 博士志向远大，他希望让这个凸包继续增长。具体来说，他正在寻找一个**扩展点**，即满足下列条件的点 $p=(x,y)$： 1. $x$ 和 $y$ 都是整数； 2. 令 $S'=S\cup\{p\}$，则 $S'$ 的凸包 $H(S')$ 恰有 $n+1$ 个顶点； 3. 这 $n+1$ 个顶点中任意三个均不共线。 换句话说，扩展点在保留凸包上述良好性质的同时，会使凸包的顶点数恰好增加 $1$。对于大多数凸包 $H(S)$，Klidd 博士通常至少能找到一个扩展点，但他想知道一共有多少个扩展点可供选择。他猜想存在一种高效的计数方法；然而他从未上过算法课，只好向你求助。 :::align{center}  ::: *注：Klidd 博士此前恰好提出过四个公设，所以这是他的第五公设。*

第一行包含一个整数 $n$，表示 Klidd 博士最初得到的凸包的顶点数，其中 $3\le n\le 50$。 接下来 $n$ 行，每行包含两个以空格分隔的整数 $x,y$，表示一个顶点的坐标，其中 $-1000\le x,y\le 1000$。 这 $n$ 个点互不相同，任意三点不共线，并按逆时针顺序给出。

如果给定凸包的扩展点有无限多个，输出 `infinitely many`；否则输出扩展点的数量。