P17523 [ECUSTPC 2026 Fall] 永世沙漏

> *任季节一再轮转，我却始终没能习惯。*

在欧氏平面上给定一个顶点按照逆时针顺序给出的多边形 $P = P_0P_1 \cdots P_{n-1}$。 记一个角度 $\alpha$ ($0 \le \alpha < \pi$) 为一个**稳定方向**，当且仅当存在 $c \in \mathbb{R}$，使得对于多边形 $P$ （含边界）内的任意一点 $X$ 到直线 $$ \cos \alpha\,x + \sin \alpha\,y + c = 0 $$ 的垂线段完全包含在 $P$ （含边界）内，这里 $\alpha$ 是直线的一个法向方向。 请求出满足条件的**稳定方向**的数量，可以证明这个数量是有限的。

第一行输入一个整数 $T$ ($1 \le T \le 100$)，表示测试数据的数量。 每组测试数据第一行输入一个整数 $n$ ($3 \le n \le 10^5$)，表示多边形的顶点数量。 随后 $n$ 行，每行输入两个整数 $x_i, y_i$ ($-10^9 \le x_i, y_i \le 10^9$)，表示多边形的第 $i$ 个顶点的坐标，按逆时针顺序给出。 保证单组测试数据中所有顶点两两不同，相邻两条边仅在公共端点处相交，不相邻的两条边没有公共点。 保证所有测试数据的 $\sum n \le 10^5$。

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示满足条件的**稳定方向**的数量。

### 样例 1 解释 :::align{center}  第 1 组测试数据的示意图  第 2 组测试数据的示意图  第 3 组测试数据的示意图 ::: 第 1 组测试数据的直线和**稳定方向**对应 $$ \begin{aligned} L_1:\quad &x-1=0, &\alpha_1&=0,\\ L_2:\quad &\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{3\sqrt{2}}{4}=0, &\alpha_2&=\frac{\pi}{4},\\ L_3:\quad &-\frac{1}{\sqrt{5}}x+\frac{2}{\sqrt{5}}y=0, &\alpha_3&=\pi-\arctan 2. \end{aligned} $$ 第 2 组测试数据的直线和**稳定方向**对应 $$ \begin{aligned} L_1:\quad &x-1=0, &\alpha_1&=0,\\ L_2:\quad &y-1=0, &\alpha_2&=\frac{\pi}{2},\\ L_3:\quad &\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-\sqrt{2}=0, &\alpha_3&=\frac{\pi}{4},\\ L_4:\quad &-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0, &\alpha_4&=\frac{3\pi}{4}. \end{aligned} $$ 第 3 组测试数据的直线和**稳定方向**对应 $$ L:\quad x-\frac{1}{2}=0, \qquad \alpha_1=0. $$ 注意对应的直线不是唯一确定的。