P17747 「RSOI-1D」游戏 / game

题目来源：【HT-121-Div.3】核桃 CSP-J 组模拟赛

小 R 正在跟他的朋友们举行一场报数游戏！ 报数游戏的规则是“根号递降”。我们给定一个正整数 $x$，要求玩家所报的第一个数必须是 $x$。随后，玩家需要不停报数。所报的每个数都必须是正整数，且严格小于前一个数，但其平方必须大于前一个数。 例如，如果玩家报了 $5$，则接下来报的数只能是 $3$ 或 $4$；如果玩家报了 $9$，则接下来报的数只能是 $4$、$5$、$6$、$7$ 或 $8$。 玩家需要不停报数，直到报出 $2$ 为止。之所以在报出 $2$ 时停止，是因为在报出 $2$ 后，接下来将不再有符合条件的数可报。 在给定 $x$ 的情况下，玩家一共有多少种报数方法？两种报数方法不同，当且仅当所报数的数量不同，或者存在 $i$ 使得两种方法所报第 $i$ 个数不相等。 由于答案可能过大，请将答案对 $10^9 + 7$ 取模。

输入共一行，包含一个正整数 $x$，表示所报的第一个数。

输出共一行，输出一个整数，表示玩家的报数方法数量，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

**【样例解释 #1】** 所有的报数方法有：$[5, 3, 2]$、$[5, 4, 3, 2]$。共 $2$ 种。 **【样例解释 #2】** 所有的报数方法有：$[9, 4, 3, 2]$、$[9, 5, 3, 2]$、$[9, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 6, 3, 2]$、$[9, 6, 4, 3, 2]$、$[9, 6, 5, 3, 2]$、$[9, 6, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 7, 3, 2]$、$[9, 7, 4, 3, 2]$、$[9, 7, 5, 3, 2]$、$[9, 7, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 7, 6, 3, 2]$、$[9, 7, 6, 4, 3, 2]$、$[9, 7, 6, 5, 3, 2]$、$[9, 7, 6, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 3, 2]$、$[9, 8, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 5, 3, 2]$、$[9, 8, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 6, 3, 2]$、$[9, 8, 6, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 6, 5, 3, 2]$、$[9, 8, 6, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 5, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 5, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 6, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 6, 4, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 6, 5, 3, 2]$、$[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2]$。共 $31$ 种。 **【数据范围】** 对于所有测试数据，保证：$2 \le x \le 10^{12}$。 ::cute-table{tuack} | 测试点编号 | $x \le$ | 特殊性质 | |:-------------------:|:------------:|:----:| | $1$ | $2$ | 无 | | $2$ | $20$ | 无 | | $3 \sim 6$ | $10^3$ | 无 | | $7\sim 9$ | $10^6$ | 无 | | $10$ | $10^6$ | A | | $11 \sim 13$ | $10^9$ | 无 | | $14$ | $10^9$ | A | | $15 \sim 18$ | $10^{12}$ | 无 | | $19 \sim 20$ | $10^{12}$ | A | **特殊性质 A**：$x$ 为完全平方数。