[NOI2015] 小园丁与老司机
题目描述
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野,田野可以看作一个二维平面。田野上有 $n$ 棵 许愿树,编号 $1,2,3,\dots,n$ ,每棵树可以看作平面上的一个点,其中第 $i$ 棵树 $(1 \leq i \leq n)$ 位于坐标 $(x_i, y_i)$ 。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 $(0,0)$ 驾车出发,进行若干轮行动。每一轮,Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向:
1.为左、右、上、左上 $45\degree$、右上 $45\degree$ 五个方向之一。
2.沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后,Mr.P 沿该方向直线前进,必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树,在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择,则停止行动。他会采取最优策略,在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一,可以选择任意一种。
不幸的是,小园丁 Mr.S 发现由于田野土质松软,老司机 Mr.P 的小汽车在每轮行进过程中,都会在田野上留下一条车辙印,一条车辙印可看作以两棵树(或原点和一棵树)为端点的一条线段。
在 Mr.P 之后,还有很多许愿者计划驾车来田野许愿,这些许愿者都会像 Mr.P 一样任选一种最优策略行动。Mr.S 认为非左右方向(即上、左上 $45\degree$、右 上 $45\degree$ 三个方向)的车辙印很不美观,为了维护田野的形象,他打算租用一些轧路机,在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段,其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式:
1.从原点或任意一棵树出发。
2.只能向上、左上 $45\degree$、右上 $45\degree$ 三个方向之一移动,并且只能在树下改变方向或停止。
3.只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面,但是同一块地面可以 被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题:
1.请给 Mr.P 指出任意一条最优路线。
2.请告诉 Mr.S 最少需要租用多少台轧路机。
输入输出格式
输入格式
第 $1$ 行包含 $1$ 个正整数 $n$,表示许愿树的数量。
接下来 $n$ 行,第 $i+1$ 行包含 $2$ 个整数 $x_i,y_i$,中间用单个空格隔开,表示第 $i$ 棵许愿树的坐标。
输出格式
包括 $3$ 行。
第 $1$ 行输出 $1$ 个整数 $m$,表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。
输出文件的第 $2$ 行输出 $m$ 个整数,相邻整数之间用单个空格隔开,表示 Mr.P 应该依次在哪些树下许愿。
输出文件的第 $3$ 行输出 $1$ 个整数,表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
输入输出样例
输入样例 #1
6
-1 1
1 1
-2 2
0 8
0 9
0 10
输出样例 #1
3
2 1 3
3
输入样例 #2
4
0 1
-2 1
2 1
3 2
输出样例 #2
4
1 2 3 4
2
说明
#### 样例 1 解释
最优路线共 $2$ 条,可许愿 $3$ 次:$(0,0) \rightarrow (1,1) \rightarrow (-1,1) \rightarrow (-2,2)$ 或 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。
至少 $3$ 台轧路机,路线是 $(0,0) \rightarrow (1,1)$,$(-1,1) \rightarrow (-2,2)$ 和 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。
#### 样例 2 解释
最优路线唯一:$(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (-2,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)$,可许愿 $4$ 次。其中在 $(0,1)$ 许愿后,从 $(-2,1)$ 出发沿着向右的方向能够到达的最近的未许愿过的树是 $(2,1)$,所以可以到达 $(2,1)$。
而如果沿着 $(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (-2,1)$ 的方向前进,此时 $(-2,1)$ 右边所有树都是许愿过的,根据题目条件规定,停止前进。故无法获得最优解。
$(0,0) \rightarrow (0,1)$ 与 $(2,1) \rightarrow (3,2)$ 会留下非左右方向车辙印,需 $2$ 台轧路机。
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