[HNOI2015]亚瑟王

题目描述

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。 作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。 本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌,共 $n$ 张。游戏时,玩家将 $n$ 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 $1 - n$。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 $i$ 张卡牌的技能发动概率为 $p_i$,如果成功发动,则会对敌方造成 $d_i$ 点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑,$p_i$ 不会为 $0$,也不会为 $1$,即 $0 < p_i < 1$。 一局游戏一共有 $r$ 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 1. 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 1.1. 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 2. 否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 $i$ 张 2.1. 将其以 $p_i$ 的概率发动技能。 2.2. 如果技能发动,则对敌方造成 $d_i$ 点伤害,并结束这一轮。 2.3. 如果这张卡牌已经是最后一张(即 $i$ 等于 $n$),则结束这一轮;否则,考虑下一张卡牌。 请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

输入输出格式

输入格式


输入文件的第一行包含一个整数 $T$,代表测试数据组数。 接下来一共 $T$ 组数据。 每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 $n$ 和 $r$,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 接下来 $n$ 行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第$i$ 行的两个数为 $p_i$ 和 $d_i$,分别代表第 $i$ 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。保证 $p_i$ 最多包含 $4$ 位小数,且为一个合法的概率。

输出格式


对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过 $10^{-8}$ 时——即 $\frac{|a-o|}{a} \leq 10^{-8}$ 时(其中 $a$ 是标准答案, $o$ 是输出),你的输出才会被判为正确。建议输出 $10$ 位小数。

输入输出样例

输入样例 #1

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

输出样例 #1

3.2660250000

说明

一共有 $13$ 种可能的情况: 1. 第一轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.15$,伤害为 $5$。 2. 第一轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.315$,伤害为 $3$。 3. 第一轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 概率为 $0.035$,伤害为 $2$。 4. 第一轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.075$,伤害为 $5$。 5. 第一轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.0675$,伤害为 $4$。 6. 第一轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 概率为 $0.0075$,伤害为 $3$。 7. 第一轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.1575$,伤害为 $3$。 8. 第一轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能;第二轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.04725$,伤害为 $4$。 9. 第一轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 概率为 $0.11025$,伤害为 $1$。 10. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 $1$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.0175$,伤害为 $2$。 11. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 $2$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.00525$,伤害为 $3$。 12. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 $3$ 张卡牌发动技能; 概率为 $0.011025$,伤害为 $1$。 13. 第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 概率为 $0.001225$,伤害为 $0$。 造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 $3.266025$。 对于所有测试数据, $1 \leq T \leq 444, 1 \leq n \leq 220, 0 \leq r \leq 132, 0 < p_i < 1, 0 \leq d_i \leq 1000$。 除非备注中有特殊说明,数据中 $p_i$ 与 $d_i$ 均为随机生成。 请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 本题使用 `special_judge`。