P3849 [TJOI2007] 足彩投注

了解足球彩票的人可能知道，足球彩票中有一种游戏叫做“胜负彩”，意为猜比赛的胜负。下面是一些与胜负彩有关的术语： 注：**每一**组有效组合数据。 投注：彩民以现金购买足球彩票的行为。 单式投注：彩民对于所有球队的比赛成绩均只选择一种预测结果的投注方式。投注的数量（注数）为1。 复式投注：彩民对于某些场次的比赛成绩选择两种以上的预测结果的投注方式。投注的数量为复式投注的组合数。例如，某彩民对一场比赛预测了两个结果（例如胜平），另一场比赛预测了三个结果（胜负平），其他比赛都只预测了一种结果，那么注数就是 $2\times 3=6$。**这样的一个复式投注，可以看成一个包含六种单式投注的集合。** 胜负彩的玩法一般是这样的。彩票机构指定一轮比赛中的若干场，让彩民去猜每场比赛的结果（胜负平）。根据彩民猜中比赛的场次，来确定中奖的额度

我们现在考虑一个简化的模型。对于一轮比赛，彩民需要竞猜其中 $n$ 场比赛的结果，每场比赛的胜负平都有一个概率 $p(i, r)$ 。其中，$i$ 表示第 $i$ 场比赛。$r\in \{0,1,2\}$，分别表示主队比赛结果的负、平、胜。$p(i, r)$ 则表示第i场比赛、结果为r的概率。此外，还有一个概率 $q(i, r)$，表示第 $i$ 场比赛，投注购买结果为 $r$ 的概率，**即总注数中购买该场次某一比赛结果的概率**。 例如，如果 $q(1,0) = 0.5$，我们可以知道第一场比赛有 $50\%$ 的投注会买主队输球。我们假设这 $n$ 场比赛互不相关，即 $p(i, r)$ 的结果不会受 $p(j, r’)$ 的影响，$q(i, r)$ 的结果也不会受 $q(j, r’)$ 的影响（$r \ne r’$）。 在这个模型里，我们规定，必须猜中全部 $n$ 场比赛的结果才能获奖。总奖金为 $M$，由所有获奖的投注平分。因此，对于一个单式投注 $R_i = \{r_{i1}, r_{i2}, \ldots ,r_{in}\}$，$r_{ij}$ 表示投注 $R_i$对第j场比赛的预测结果，它的中奖概率为： $$ P(R_i)=\prod\limits_{j=1}^np(j,r_{ij}) $$ 设投注总数为 $N$，那么中奖的投注总数为： $$ N\cdot Q(R_i)=N\cdot\prod\limits_{j=1}^nq(j,r_{ij}) $$ 于是，投注 $R_i$ 所能得到的奖金的期望（平均意义下能够获得的奖金数）就是： $$ \dfrac{M}{N\cdot Q(R_i)} \cdot P(R_i) $$ 以上考虑的仅仅是单式投注的情况，即仅考虑单注 $R_i$ 的中奖情况。对于复式投注，情况要复杂一些。采用复式投注时，投注的是一个集合 $R = \{R1, R2, …, Rk\}$，其中k是投注的数量。例如，三场比赛，第一场猜“胜负”，第二场猜“平”，第三场猜“负平”，则 $k = 4$，$R$ 集合所包含的四个元素如下如下： | | $r_{i1}$ | $r_{i2}$ | $r_{i3}$ | | ----- | -------- | -------- | -------- | | $R_1$ | 0 | 1 | 0 | | $R_2$ | 0 | 1 | 1 | | $R_3$ | 2 | 1 | 0 | | $R_4$ | 2 | 1 | 1 | 复式投注R中，只要有一个 $Ri$ 猜对所有比赛结果，即可中奖。因此，复式投注R所能获得的奖金的期望就是： $$ \sum_{R_i\in R}\dfrac{M}{N\cdot Q(R_i)} \cdot P(R_i) $$ 我们的问题是，给定 $n$ 场比赛的信息（胜负平的概率和彩民购买三种结果的概率），以及复式投注中可以购买的最大注数 $U$，要求设计一种复式投注的方案，在不超过最大注数（复式投注的注数 $k \le U$）的前提下，使得获得奖金的期望最大。

第一行四个正整数 $n, N, M, U$，其中 $n, U \le 10^4, N, M \le 10^9$。 以下 $n$ 行，每行六个实数。第 $i + 1$ 行的六个实数为 $p(i, 0), p(i, 1), p(i, 2), q(i, 0),q(i, 1),q(i, 2)$，用来描述第 $i$ 场比赛的相关信息。其中，$p(i, 0) + p(i, 1) + p(i, 2) = 1$,，$q(i, 0) + q(i, 1) + q(i, 2) = 1$，$ q(i, j) ≠ 0$。

一个实数，表示最大的奖金期望的自然对数。 $$ \ln \left( \operatorname{max}_{\lvert R \rvert \le U}\left\{\sum_{R_i\in R}\dfrac{M}{N\cdot Q(R_i)} \cdot P(R_i)\right\}\right) $$ 输出保留 $3$ 位小数（四舍五入）。