[NOI2005] 月下柠檬树
题目描述
李哲非常非常喜欢柠檬树,特别是在静静的夜晚,当天空中有一弯明月温柔地照亮地面上的景物时,他必会悠闲地坐在他亲手植下的那棵柠檬树旁,独自思索着人生的哲理。
李哲是一个喜爱思考的孩子,当他看到在月光的照射下柠檬树投在地面上的影子是如此的清晰,马上想到了一个问题:树影的面积是多大呢?
李哲知道,直接测量面积是很难的,他想用几何的方法算,因为他对这棵柠檬树的形状了解得非常清楚,而且想好了简化的方法。
李哲将整棵柠檬树分成了 $n$ 层,由下向上依次将层编号为 $1,2,...,n$。从第 $1$ 到 $n-1$ 层,每层都是一个圆台型,第 $n$ 层(最上面一层)是圆锥型。对于圆台型, 其上下底面都是水平的圆。对于相邻的两个圆台,上层的下底面和下层的上底面重合。第 $n$ 层(最上面一层)圆锥的底面就是第 $n-1$ 层圆台的上底面。所有的底面 的圆心(包括树顶)处在同一条与地面垂直的直线上。李哲知道每一层的高度为 $h_1,h_2,...,h_n$,第 $1$ 层圆台的下底面距地面的高度为 $h_0$,以及每层的下底面的圆的半径 $r_1,r_2,...,r_n$。李哲用熟知的方法测出了月亮的光线与地面的夹角为 $\mathrm{alpha}$。
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为了便于计算,假设月亮的光线是平行光,且地面是水平的,在计算时忽略树干所产生的影子。李哲当然会算了,但是他希望你也来练练手。
输入输出格式
输入格式
第一行包含一个整数 $n$ 和一个实数 $\mathrm{alpha}$,表示柠檬树的层数和月亮 的光线与地面夹角(单位为弧度)。
第二行包含 $n+1$ 个实数 $h_0,h_1,h_2,...,h_n$ 表示树离地的高度和每层的高度。
第三行包含 $n$ 个实数 $r_1,r_2,...,r_n$ 表示柠檬树每层下底面的圆的半径。
同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。
输入的所有实数的小数点后可能包含一至十位有效数字。
输出格式
输出一个实数,表示树影的面积,四舍五入保留两位小数。
输入输出样例
输入样例 #1
2 0.7853981633
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00
输出样例 #1
171.97
说明
对于 $10 \%$ 的数据,$n \leq 1$;
对于 $30 \%$ 的数据,$n \leq 2$;
对于 $60 \%$ 的数据,$n \leq 20$;
对于 $100 \%$ 的数据,$1 \leq n \leq 500$,$0.3 < \mathrm{alpha} < \frac{\pi}{2}$,$0 < h_i \leq 100$,$0 < r_i \leq 100$。