P4769 [NOI2018] 冒泡排序
题目背景
请注意，题目中存在 $n=0$ 的数据。
题目描述
最近，小 S 对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。为了问题简单，小 S 只研究对 **$1$ 到 $n$ 的排列**的冒泡排序。
下面是对冒泡排序的算法描述。
```plain
输入：一个长度为 n 的排列 p[1...n]
输出：p 排序后的结果。
for i = 1 to n do
for j = 1 to n - 1 do
if(p[j] > p[j + 1])
交换 p[j] 与 p[j + 1] 的值
```
冒泡排序的交换次数被定义为交换过程的执行次数。可以证明交换次数的一个下界是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$，其中 $p_i$ 是排列 $p$ 中第 $i$ 个位置的数字。如果你对证明感兴趣，可以看提示。
小 S 开始专注于研究长度为 $n$ 的排列中，满足交换次数 $= \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 的排列（在后文中，为了方便，我们把所有这样的排列叫「好」的排列）。他进一步想，这样的排列到底多不多？它们分布的密不密集？
小 S 想要对于一个给定的长度为 $n$ 的排列 $q$，计算字典序严格大于 $q$ 的“好”的排列个数。但是他不会做，于是求助于你，希望你帮他解决这个问题，考虑到答案可能会很大，因此只需输出答案对 $998244353$ 取模的结果。
输入格式
输入第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。
对于每组数据，第一行有一个正整数 $n$，保证 $n \leq 6 \times 10^5$。
接下来一行会输入 $n$ 个正整数，对应于题目描述中的 $q_i$，保证输入的是一个 $1$ 到 $n$ 的排列。
输出格式
输出共 $T$ 行，每行一个整数。
对于每组数据，输出一个整数，表示字典序严格大于 $q$ 的「好」的排列个数对 $998244353$ 取模的结果。
说明/提示
### 更多样例
更多样例请在附加文件中下载。
#### 样例 3
见附加文件中的 `inverse3.in` 与 `inverse3.ans`。
### 样例 1 解释
字典序比 $1 \ 3 \ 2$ 大的排列中，除了 $3 \ 2 \ 1$ 以外都是「好」的排列，故答案为 $3$。
### 数据范围
下面是对本题每个测试点的输入规模的说明。
对于所有数据，均满足 $T = 5$（样例可能不满足）。
记 $n_\mathrm{max}$ 表示每组数据中 $n$ 的最大值，$\sum n$ 表示所有数据的 $n$ 的和。
::cute-table{tuack}
| 测试点 | $n_\mathrm{max} =$ | $\sum n \leq$ | 特殊性质 |
|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1$ | $8$ | $5 \ n_\mathrm{max}$ | 无 |
| $2$ | $9$ | ^ | ^ |
| $3$ | $10$ | ^ | ^ |
| $4$ | $12$ | ^ | ^ |
| $5$ | $13$ | ^ | ^ |
| $6$ | $14$ | ^ | ^ |
| $7$ | $16$ | ^ | ^ |
| $8$ | $16$ | ^ | ^ |
| $9$ | $17$ | ^ | ^ |
| $10$ | $18$ | ^ | ^ |
| $11$ | $18$ | ^ | ^ |
| $12$ | $122$ | $700$ | $\forall i \enspace q_i = i$ |
| $13$ | $144$ | ^ | 无 |
| $14$ | $166$ | ^ | ^ |
| $15$ | $200$ | ^ | ^ |
| $16$ | $233$ | ^ | ^ |
| $17$ | $777$ | $4000$ | $\forall i \enspace q_i = i$ |
| $18$ | $888$ | ^ | 无 |
| $19$ | $933$ | ^ | ^ |
| $20$ | $1000$ | ^ | ^ |
| $21$ | $266666$ | $2000000$ | $\forall i \enspace q_i = i$ |
| $22$ | $333333$ | ^ | 无 |
| $23$ | $444444$ | ^ | ^ |
| $24$ | $555555$ | ^ | ^ |
| $25$ | $600000$ | ^ | ^ |
### 提示
下面是对交换次数下界是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 的证明。
排序本质上就是数字的移动，因此排序的交换次数应当可以用数字移动的总距离来描述。对于第 $i$ 个位置，假设在初始排列中，这个位置上的数字是 $p_i$，那么我们需要将这个数字移动到第 $p_i$ 个位置上，移动的距离是 $\lvert i - p_i \rvert$。从而移动的总距离就是 $\sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$，而冒泡排序每次会交换两个相邻的数字，每次交换可以使移动的总距离至多减少 $2$。因此 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 是冒泡排序的交换次数的下界。
并不是所有的排列都达到了下界，比如在 $n = 3$ 的时候，考虑排列 $3 \ 2 \ 1$，这个排列进行冒泡排序以后的交换次数是 $3$，但是 $\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert$ 只有 $2$。