P5023 [NOIP 2018 提高组] 填数游戏

NOIP2018 提高组 D2T2

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。 这个填数游戏的棋盘是一个 $n \times m$ 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 $0$ 或者数字 $1$），填数时需要满足一些限制。 下面我们来具体描述这些限制。 为了方便描述，我们先给出一些定义： - 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。注意：行列坐标均从 $0$ 开始编号。 - 合法路径 $P$：一条路径是合法的当且仅当： 1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 $(0,0)$ 出发，到矩形的右下角格子 $(n - 1,m - 1)$ 结束； 2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。 例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 $P_1$：$(0,0)\to (0,1)\to (1,1)$ 和 $P_2$：$(0,0) \to (1,0) \to (1,1)$。  对于一条合法的路径 $P$，我们可以用一个字符串 $w(P)$ 来表示，该字符串的长度为 $n + m - 2$，其中只包含字符 $\texttt R$ 或者字符 $\texttt D$，第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法。$\texttt R$ 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，$\texttt D$ 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 $P_1$，有 $w(P_1) = \texttt {RD}$；而对于另一条路径 $P_2$，有 $w(P_2) = \texttt {DR}$。 同时，将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 $n + m - 1$ 的 $01$ 字符串，记为 $s(P)$。例如，如果我们在格子 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 上填入数字 $0$，在格子 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 上填入数字 $1$（见上图红色数字），那么对于路径 $P_1$，我们可以得到 $s(P_1) = 011$，对于路径 $P_2$，有 $s(P_2) = 001$。 游戏要求小 D 找到一种填数字 $0$、$1$ 的方法，使得对于两条路径 $P_1$，$P_2$，如果 $w(P_1) > w(P_2)$，那么必须 $s(P_1) ≤ s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小，当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？ 小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 $0$、$1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

无

无

**样例解释**  **数据规模与约定** | 测试点编号 | $n\le$ | $m\le$ | | :-----------: | :-----------: | :-----------: | | $1\sim 4$ | $3$ | $3$ | | $5\sim 10$ | $2$ | $10^6$ | | $11\sim 13$ | $3$ | $10^6$ | | $14\sim 16$ | $8$ | $8$ | | $17\sim 20$ | $8$ | $10^6$ |