[NOI2019]斗主地

题目背景

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题目描述

小 $S$ 在和小 $F$ 玩一个叫“斗地主”的游戏。 可怜的小 $S$ 发现自己打牌并打不过小 $F$,所以他想要在洗牌环节动动手脚。 一副牌一共有 $n$ 张牌,从上到下依次标号为 $1 - n$。标号为 $i$ 的牌**分数**是 $f(i)$。在 本题,$f(i)$ 有且仅有两种可能:$f(i) = i$ 或 $f(i) = i^2$。 洗牌的方式和我们日常生活中的比较类似,以下我们用形式化的语言来定义: 洗牌环节一共分$m$轮,这 $m$ 轮洗牌依次进行。第 $i$ 轮洗牌时: 1. 小 $S$ 会拿出从最上面往下数的前 $A_i$ 张牌。这样这副牌就被分成了两堆:第一堆 是最上面的 $A_i$ 张牌,第二堆是剩下的 $n-Ai$ 张牌,且这两堆牌内相对顺序不变。 特别地,当$Ai = n$ 或 $Ai = 0$ 时,有一堆牌是空的。 2. 接下来对两堆牌进行合并,从而产生新的第三堆牌。当第一堆牌还剩下 $X$ 张,第 二堆牌还剩下 $Y$ 张的时候,以 $\frac{X}{X+Y}$ 的概率取出第一堆牌的最下面的牌,并将它 放入新的第三堆牌的最上面, $\frac{Y}{X+Y}$ 的概率取出第二堆牌的最下面的牌,并将它放 入新的第三堆牌的最上面 3. 重复操作 $2$,一直取到两堆牌都为空为止。这样我们就完成了一轮洗牌。 因为洗牌过程是随机的,所以小 $S$ 发现自己没法知道某个位置上具体是哪张牌。但小 $S$ 想问你在经历了这 $m$ 轮洗牌后,某个位置上的牌的**期望分数**是多少。小 $S$ 一共会问你 $Q$ 个这样的问题。

输入输出格式

输入格式


输入的第一行包含三个正整数 $n, m, type$,分别表示牌的数量,洗牌的轮数与 $f(i)$ 的类型。当 $type = 1$ 时,$f(i) = i$。当 $type = 2$ 时,$f(i) = i^2$。 接下来一行,一共 $m$ 个整数,表示 $A_1 - A_m$。 接下来一行一个正整数 $Q$,表示小 $S$ 的询问个数。 接下来 $Q$ 行,每行一个正整数 $c_i$,表示小 $S$ 想要知道从上往下第 $c_i$ 个位置上的牌的**期望分数**。 保证 $1 ≤ ci ≤ n$。

输出格式


输出一共 $Q$ 行,每行一个整数,表示答案在模 $998244353$ 意义下的取值。 即设答案化为最简分式后的形式为 $\frac{a} {b}$,其中 $a$ 和 $b$ 互质。输出整数 $x$ 使得 $bx$ ≡ $a$ $(mod 998244353)$ 且 $0 ≤ x < 998244353$。可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的。

输入输出样例

输入样例 #1

4 1 1
3
1
1

输出样例 #1

249561090

说明

#### 样例输入输出1 解释 - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 2, 3, 4\}$。 - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 2, 4, 3\}$。 - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 4, 2, 3\}$。 - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{4, 1, 2, 3\}$。 所以最终有 $\frac{1}{4}$ 的概率第一个位置是 $4$,有 $\frac{3} {4}$ 的概率第一个位置是 $1$,所以第一个位置的期望分数是 $\frac{7}{ 4}$。 为了帮助你们更直观地了解洗牌的过程,我们在下面画出了结果是 $\{1, 4, 2, 3\}$ 的过程。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/64318.png) #### 数据规模与约定 对于全部的测试点,保证 $3\le n \le 10^7$,$1\le m,Q\le5\times 10^5$,$0\le A_i\le n$,$type\in \{1,2\}$。 每个测试点的具体限制见下表: | 测试点 | $n$ | $m$ | $type=$ | 其他性质 | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $1$ | $\le 10$ | $\le 1$ | $1$ | 无 | | $2$ | $\le 80$ | $\le 80$ | $1$ | 无 | | $3$ | $\le 80$ | $\le 80$ | $2$ | 无 | | $4$ | $\le 100$ | $\le 5\times 10^5$ | $2$ | 所有 $A_i$ 相同 | | $5$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $1$ | 无 | | $6$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $1$ | 无 | | $7$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $1$ | 无 | | $8$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $2$ |无 | | $9$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $2$ | 无 | | $10$ | $\le 10^7$ | $\le 5\times 10^5$ | $2$ | 无 | 请注意我们并没有保证 $Q\le n$。 #### 提示 这里我们给出离散型随机变量 $X$ 的期望 $\mathbb{E}[x]$ 的定义: 设离散随机变量 $X$ 的可能值是 $X_1,X_2,\ldots X_k$,$Pr[X_1],Pr[X_2],\ldots,Pr[X_k]$ 为 $X$ 取对应值的概率,则 $X$ 的期望为: $$\mathbb{E}[x]=\sum^k_{i=1}X_i\times Pr[X_i]$$