[USACO19DEC] Tree Depth P
题目背景
For the new year, Farmer John decided to give his cows a festive binary search tree
(BST)!
To generate the BST, FJ starts with a permutation $a=\{a_1,a_2,\ldots,a_N\}$
of the integers $1\ldots N$, where $N\le 300$. He then runs the following
pseudocode with arguments $1$ and $N.$
```
generate(l,r):
if l > r, return empty subtree;
x = argmin_{l <= i <= r} a_i; // index of min a_i in {a_l,...,a_r}
return a BST with x as the root,
generate(l,x-1) as the left subtree,
generate(x+1,r) as the right subtree;
```
For example, the permutation $\{3,2,5,1,4\}$ generates the following BST:
```
4
/ \
2 5
/ \
1 3
```
Let $d_i(a)$ denote the depth of node $i$ in the tree corresponding to $a,$
meaning the number of nodes on the path from $a_i$ to the root. In the above
example, $d_4(a)=1, d_2(a)=d_5(a)=2,$ and $d_1(a)=d_3(a)=3.$
The number of inversions of $a$ is equal to the number of pairs of integers
$(i,j)$ such that $1\le i<j\le N$ and $a_i>a_j.$ The cows know that the $a$ that
FJ will use to generate the BST has exactly $K$ inversions
$(0\le K\le \frac{N(N-1)}{2})$. Over all $a$ satisfying this condition, compute
the remainder when $\sum_ad_i(a)$ is divided by $M$ for each $1\le i\le N.$
题目描述
为了迎接新年，Farmer John 决定给他的奶牛们一个节日二叉搜索树！
为了生成这个二叉搜索树，Farmer John 从一个 $1 \dots N$ 的排列 $a= \{1,2, \dots ,N\}$ 开始，然后以参数 $l$ 和 $r$ 开始运行如下的伪代码：
```
generate(l,r):
if l > r, return empty subtree;
x = argmin_{l <= i <= r} a_i; // index of min a_i in {a_l,...,a_r}
return a BST with x as the root,
generate(l,x-1) as the left subtree,
generate(x+1,r) as the right subtree;
```
例如，排列 $\{ 3,2,5,1,4 \}$ 将产生如下的二叉搜索树：
令 $d_i(a)$ 表示节点 $i$ 在用排列 $a$ 生成的二叉搜索树中的深度。深度定义为这个节点到根节点的路径上的点数。在上述例子中，$d_4(a)=1,d_2(a)=d_5(a)=2,d_1(a)=d_3(a)=3$。
$a$ 中的逆序对数等于满足 $1 \le i<j \le N$ 且 $a_i>a_j$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。奶牛们知道 Farmer John 用来生成二叉搜索树的排列 $a$ 中恰好有 $K$ 个逆序对。对于所有满足条件的 $a$，请计算对于每个 $1 \le i \le N$，$\sum_a d_i(a)$ 对 $M$ 取模后的结果。
输入输出格式
输入格式
输入只有一行，包含三个整数 $N,K,M$。
输出格式
输出一行 $N$ 个整数，第 $i$ 个整数表示 $\sum_a d_i(a) \bmod M$。两个整数之间用一个空格隔开。
输入输出样例
输入样例 #1
3 0 192603497
输出样例 #1
1 2 3
输入样例 #2
3 1 144408983
输出样例 #2
3 4 4
说明
#### 样例解释 1
对于这个样例，唯一满足条件的排列为 $a=\{1,2,3\}$。
#### 样例解释 2
对于这个样例，满足条件的两个排列分别为 $a=\{1,3,2\}$ 和 $a=\{2,1,3\}$。
#### 数据范围
对于全部数据，$1\le N\le 300$，$0\le K\le \frac{N(N-1)}{2}$，保证 $M$ 是一个 $\left[ 10^8,10^9+9 \right]$ 范围中的质数。
对于测试点 $3,4$，满足 $N \le 8$；
对于测试点 $5-7$，满足 $N \le 20$；
对于测试点 $8-10$，满足 $N \le 50$。
USACO 2019 December 铂金组T3