[USACO20OPEN] Exercise P
题目描述
Farmer John（又）想到了一个新的奶牛晨练方案！
如同之前，Farmer John 的 $N$ 头奶牛站成一排。对于 $1\le i\le N$ 的每一个 $i$，从左往右第 $i$ 头奶牛的编号为 $i$。他告诉她们重复以下步骤，直到奶牛们与她们开始时的顺序相同。
给定长为 $N$ 的一个排列 $A$，奶牛们改变她们的顺序，使得在改变之前从左往右第 $i$ 头奶牛在改变之后为从左往右第 $A_i$ 头。
例如，如果 $A=(1,2,3,4,5)$，那么奶牛们总共进行一步就回到了同样的顺序。如果 $A=(2,3,1,5,4)$，那么奶牛们总共进行六步之后回到起始的顺序。每步之后奶牛们从左往右的顺序如下：
0 步：$(1,2,3,4,5)$
1 步：$(3,1,2,5,4)$
2 步：$(2,3,1,4,5)$
3 步：$(1,2,3,5,4)$
4 步：$(3,1,2,4,5)$
5 步：$(2,3,1,5,4)$
6 步：$(1,2,3,4,5)$
**请你计算出所有可能的 $N!$ 种长为 $N$ 的排列 $A$ 回到起始顺序需要的步数的乘积。**
由于这个数字可能非常大，输出答案模 $M$ 的余数（$10^8\le M\le 10^9+7$，$M$ 是质数）。
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使用 C++ 的选手可以使用 [KACTL](https://github.com/kth-competitive-programming/kactl/blob/master/content/various/FastMod.h) 中的这一代码。这一名为 [Barrett 模乘](https://en.wikipedia.org/wiki/Barrett_reduction) 的算法可以以比通常计算快上数倍的速度计算 $a \% b$，其中 $b>1$ 为一个编译时未知的常数。（不幸的是，我们没有找到对于 Java 的这样的优化）。（译注：中文选手可以参考 几种取模优化方法[（译自 min-25 的博客）](https://loj.ac/article/327)）
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef __uint128_t L;
struct FastMod {
ull b, m;
FastMod(ull b) : b(b), m(ull((L(1) << 64) / b)) {}
ull reduce(ull a) {
ull q = (ull)((L(m) * a) >> 64);
ull r = a - q * b; // can be proven that 0 <= r < 2*b
return r >= b ? r - b : r;
}
};
FastMod F(2);
int main() {
int M = 1000000007; F = FastMod(M);
ull x = 10ULL*M+3;
cout << x << " " << F.reduce(x) << "\n"; // 10000000073 3
}
```
输入输出格式
输入格式
输入一行包含 $N$ 和 $M$。
输出格式
输出一个整数。
输入输出样例
输入样例 #1
5 1000000007输出样例 #1
369329541说明
#### 样例解释：
对于每一个 $1\le i\le N$，以下序列的第 $i$ 个元素等于奶牛需要使用 $i$ 步的排列数量：$[1,25,20,30,24,20]$。所以答案等于 $1^1\cdot 2^{25}\cdot 3^{20}\cdot 4^{30}\cdot 5^{24}\cdot 6^{20}\equiv 369329541\pmod{10^9+7}$。
**注意：这个问题的内存限制增加为 512 MB。**
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对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le N\le 7500$。
共 $16$ 个测试点，其中 $1$ 为样例，其余性质如下：
测试点 $2$ 满足 $N=8$。
测试点 $3\sim 5$ 满足 $N\le 50$。
测试点 $6\sim 8$ 满足 $N\le 500$。
测试点 $9\sim 12$ 满足 $N\le 3000$。
测试点 $13\sim 16$ 没有额外限制。
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出题人：Benjamin Qi