[Cnoi2020]线形生物

题目背景

> 为了能够在冥界过上这种愉快的生活而不是被判入地狱,人类们摒弃了自行结束生命的做法,拼尽全力地生活着。如此看来,人类似乎也显得有些积极与可爱了呢。 (射命丸 文) 线形生物沿着一维的阶梯向着冥界单向地前行着。 照这样的话,它只需要一级一级地,走 $n$ 步就能够到达白玉楼。 但 Cirno 觉得这样太单调了,于是,一维的壁垒被打破,链状的道路生出了花椰菜状的枝桠。

题目描述

线形生物要从 $1$ 号台阶走到 $n+1$ 号台阶。 最开始,$1,2,3,\ldots,n$ 号台阶都有一条连向下一台阶的有向边 $i\rightarrow i+1$。 之后 Cirno 加入了 $m$ 条**返祖边** $u_i \rightarrow v_i (u_i \ge v_i)$,它们构成了一个**返祖图**。 线形生物每步会 **等概率地** 选取当前台阶的一条出边并走向对应的台阶。 当走到 $n+1$ 号台阶时,线形生物就会停止行走。 同时,Cirno 会统计线性生物总共走的步数,记作 $\delta$。 Cirno 想知道 $E(\delta)$(即 $\delta$ 的**数学期望**)对 $998244353$ 取模后的结果。

输入输出格式

输入格式


第一行三个整数 $id$,$n$,$m$。 以下 $m$ 行,每行两个整数 $u_i$,$v_i$。 $id$ 表示 subtask 编号,其它字母含义同上文。

输出格式


一行,一个整数 $E(\delta)$,字母含义同上文。

输入输出样例

输入样例 #1

1 5 5
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5

输出样例 #1

10

输入样例 #2

2 5 5
1 1
2 1
3 2
4 3
5 4

输出样例 #2

30

输入样例 #3

3 5 5
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1

输出样例 #3

62

输入样例 #4

4 5 5
1 1
3 1
4 2
5 1
5 5

输出样例 #4

35

说明

## 后置数学知识 - **可能用到的幂级数求和** : 若 $x>1$,则有 $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\big(\frac{1}{x}\big)^i=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\cdots=\frac{1}{x-1}$。 - **数学期望** : 随机试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,反映随机变量平均取值的大小。 - **离散期望公式** : $E(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k$。 ## 数据范围与约定 对于 $100\%$ 的数据,保证:$id \in \{1,2,3,4,5\}$,$0 < n,m \le 10^6$,$1 \le v_i \le u_i \le n$。 #### 子任务「本题采用捆绑测试」 - Subtask1($10\%$): 返祖图中所有点都有自环且所有边均为自环(未画出),总图形如 : ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/6fikv6ft.png) - Subtask2($10\%$): 返祖图中所有点均向且仅向自己的前驱连边,特别地,$1$ 号节点的前驱是 $1$ 号节点,总图形如 : ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/6rc9dazb.png) - Subtask3($10\%$): 返祖图中所有点均向且仅向 $1$ 号节点连边,总图形如 : ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/wup1ctvu.png) - Subtask4($10\%$): $n \le 100$,$m \le 1000$。 - Subtask5($60\%$): 无特殊限制。 ## 后记 题目名称出自 th17 东方鬼形兽 6 Boss 埴安神袿姬 Hard / Lunatic 难度符卡 線形「リニアクリーチャー」。