[IOI2020] 装饼干

Khong 阿姨在组织一场有 $x$ 位选手参加的竞赛，她打算给每位选手一 **袋饼干**。总共有 $k$ 种不同类型的饼干，编号为从 $0$ 到 $k-1$。类型为 $i(0 \le i \le k-1)$ 的每块饼干都有一个 **口味值** $2^i$。在 Khong 阿姨的食品储藏室里，有 $a[i]$（有可能为 $0$）块类型为 $i$ 的饼干。 对每种类型的饼干，Khong 阿姨在每个袋子都会装上 $0$ 或者多块。所有袋子里面类型为 $i$ 的饼干的总块数不能超过 $a[i]$。一个袋子里面所有饼干的口味值的总和，被称为这袋饼干的 **总口味值**。 请帮 Khong 阿姨算一下，究竟存在多少不同的 $y$ 值，使得她可以装出 $x$ 袋饼干，而且每袋饼干的总口味值都等于 $y$。 #### 实现细节 你需要实现下面的这个函数： ```cpp int64 count_tastiness(int64 x, int64[] a) ``` - $x$：需要装的饼干袋的数量。 - $a$：长度为 $k$ 的数组。对 $0 \le i \le k-1$，$a[i]$ 表示在食物储藏室里类型为 $i$ 的饼干数量。 - 此函数应当返回不同 $y$ 值的数目，使得阿姨可以装出 $x$ 袋饼干，且每袋饼干的总口味值都为 $y$。 - 此函数会被调用 $q$ 次 (对于允许的 $q$ 值，详见约束条件和子任务部分)。每次调用应当被看成是独立的场景。

#### 样例说明 #### 例 1 考虑如下调用： ```cpp count_tastiness(3, [5, 2, 1]) ``` 这意味着阿姨打算装 $3$ 袋饼干，而在食物储藏室里总共有 $3$ 种类型的饼干： - $5$ 块类型为 $0$ 的饼干，每块的口味值为 $1$， - $2$ 块类型为 $1$ 的饼干，每块的口味值为 $2$， - $1$ 块类型为 $2$ 的饼干，其口味值为 $4$。 $y$ 能够取的值为 $[0,1,2,3,4]$。举例来说，为了装出总口味值均为 $3$ 的 $3$ 袋饼干，阿姨可以这样装： - 一袋饼干里有 $3$ 块类型为 $0$ 的饼干，以及 - 两袋饼干，其中各有一块类型为 $0$ 的饼干和一块类型为 $1$ 的饼干。 由于总共有 $5$ 个可能的 $y$ 值，函数应当返回 $5$。  #### 例 2 考虑如下调用： ```cpp count_tastiness(2, [2, 1, 2]) ``` 这意味着阿姨打算装 $2$ 袋饼干，而在食物储藏室里总共有 $3$ 种类型的饼干： - $2$ 块类型为 $0$ 的饼干，每块的口味值为 $1$， - $1$ 块类型为 $1$ 的饼干，其口味值为 $2$， - $2$ 块类型为 $2$ 的饼干，每块的口味值为 $4$。 $y$ 能够取的值为 $[0,1,2,4,5,6]$。由于总共有 $6$ 个可能的 $y$ 值，函数应当返回 $6$。 #### 约束条件 - $1 \le k \le 60$ - $1 \le q \le 1000$ - $1 \le x \le 10^{18}$ - $0 \le a[i] \le 10^{18}$（对于所有的 $0 \le i \le k-1$） - 对于 `count_tastiness` 的每次调用，食物储藏室里所有饼干的口味值总和都不会超过 $10^{18}$。 #### 子任务 1. (9 分) $q \le 10$，且对于 `count_tastiness` 的每次调用，食物储藏室里所有饼干的口味值总和都不会超过 $10^5$。 2. (12 分) $x=1,q \le 10$ 3. (21 分) $x \le 10^4,q \le 10$ 4. (35 分) 对于 `count_tastiness` 的每次调用，正确的返回结果都不会超过 $2 \times 10^5$。 5. (23 分) 没有附加限制条件。 #### 评测程序示例 评测程序示例将读取如下格式的输入数据。第一行包含一个整数 $q$。接下来是 $q$ 对这样的两行：它们按照下面的格式来描述一个单独的场景： 第 $1$ ⾏：$k\ x$ 第 $2$ ⾏：$a[0]\ a[1]\ \ldots\ a[k-1]$ 评测程序示例的输出结果的格式如下： 第 $i$ 行 ($1 \le i \le q$)：`count_tastiness` 对于输入数据中第 $i$ 个场景的返回值。