[USACO21OPEN] Routing Schemes P

题目描述

考虑一个由 $N$ 个编号为 $1\dots N$ 的结点组成的网络。每个结点被指定为发送者（sender）、接收者（receiver）或两者均不是。发送者的数量 $S$ 与接收者的数量相等（$S≥1$）。这一网络中结点间的连接关系可以用一系列形式为 $i→j$ 的有向边表示，代表由结点 $i$ 可以路由到结点 $j$。有趣的是，所有的边满足性质 $i<j$，除了 $K$ 条满足 $i>j$（$0≤K≤2$）。网络中没有自环（$i→i$ 形式的边）。一个「**路由方案**」的描述由 $S$ 条从发送者到接收者的有向路径组成，其中没有两条路径有相同的起止点。也就是说，这些路径将不同的发送者连接到不同的接收者。一条从发送者 $s$ 到接收者 $r$ 的路径可以用一个结点序列 $s=v_0→v_1→v_2→⋯→v_e=r$ 表示，其中对于所有 $0≤i<e$，有向边 $v_i→v_{i+1}$ 均存在。一个结点可能在同一条路径中出现多于一次。计算使得每条有向边恰好使用一次的路由方案数量。由于答案可能非常大，输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。输入保证存在至少一种路由方案符合条件。每个输入包含 $T$ 组需要独立求解的测试用例。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含 $T$，为测试用例的数量。每个测试用例的第一行包含整数 $N$ 和 $K$。注意 $S$ 并不会在输入中明确给出。每个测试用例的第二行包含一个长为 $N$ 的字符串。如果第 $i$ 个结点是发送者，则字符串的第 $i$ 个字符为 $\texttt{S}$，如果第 $i$ 个结点是接收者则为 $\texttt{R}$，如果第 $i$ 个结点两者均不是则为 $\texttt{.}$。字符串中 $\texttt{R}$ 的数量等于 $\texttt{S}$ 的数量，且至少有一个 $\texttt{S}$。每个测试用例的以下 $N$ 行每行包含一个长为 $N$ 的 01 字符串。如果从结点 $i$ 到结点 $j$ 存在一条有向边，则第 $i$ 行的第 $j$ 个字符为 $1$，否则为 $0$。由于不存在自环，矩阵的主对角线仅包含 $0$。除此之外，在主对角线以下恰好有 $K$ 个 $1$ 。为提高可读性，相邻的测试用例之间用一个空行隔开。

输出格式

对每个测试用例，输出每条边使用恰好一次的路由方案的数量，结果对 $10^9+7$ 取模。输入保证对每个测试用例存在至少一种合法的路由方案。

输入输出样例

输入样例 #1

2

8 0
SS....RR
00100000
00100000
00011000
00000100
00000100
00000011
00000000
00000000

13 0
SSS.RRRSS.RR.
0001000000000
0001000000000
0001000000000
0000111000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000001000
0000000001000
0000000000110
0000000000000
0000000000000
0000000000000

输出样例 #1

4
12

输入样例 #2

输出样例 #2

3
1

输入样例 #3

输出样例 #3

说明

#### 样例一解释对于第一个测试用例，网络中的边为 $1→3,2→3,3→4,3→5,4→6,5→6,6→7,6→8$ 。有四种可能的路由方案： - $1→3→4→6→7,2→3→5→6→8$ - $1→3→5→6→7,2→3→4→6→8$ - $1→3→4→6→8,2→3→5→6→7$ - $1→3→5→6→8,2→3→4→6→7$ 对于第二个测试用例，网络中的边为 $1→4,2→4,3→4,4→5,4→6,4→7,8→10,9→10,10→11,11→12$。一种可能的路由方案由如下路径组成： - $1→4→5$ - $2→4→7$ - $3→4→6$ - $8→10→12$ - $9→10→11$ 总的来说，发送者 ${1,2,3}$ 可以路由到接收者 ${5,6,7}$ 的某个排列，发送者 ${8,9}$ 可以路由到接收者 ${11,12}$ 的某个排列，得出答案为 $6\times 2=12$。 #### 样例二解释对于第一个测试用例，网络中的边为 $1→3,1→5,2→3,3→1,3→4$ 。有三种可能的路由方案： - $1→3→1→5,2→3→4$ - $1→3→4,2→3→1→5$ - $1→5,2→3→1→3→4$ 对于第二个测试用例，网络中的边为 $1→3,2→4,3→2,3→6,4→5,5→3$。只有一种可能的路由方案：$1→3→2→4→5→3→6$ 。 #### 数据范围和约定 $2\le N\le 100$，$1\le T\le 20$ , $\sum N^2\le 2\times 10^4$。