[AHOI2022] 排列

对于一个长度为 $n$ 的排列 $P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ 和整数 $k \ge 0$，定义 $P$ 的 $k$ 次幂 $$P^{(k)} = \left( p^{(k)}_1, p^{(k)}_2, \ldots, p^{(k)}_n \right),$$ 该排列的第 $i$ 项为 $$p^{(k)}_i = \begin{cases} i, & k = 0, \\ p^{(k - 1)}_{p_i}, & k > 0. \end{cases}$$ 容易证明任意排列的任意次幂都是一个排列。 定义排列 $P$ 的**循环值** $v(P)$ 为最小的**正整数** $k$ 使得 $P^{(k + 1)} = P$。 给出一个长度为 $n$ 的排列 $A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，对于整数 $1 \le i, j \le n$，定义 $f(i, j)$：若存在 $k \ge 0$ 使得 $a^{(k)}_i = j$，则 $f(i, j) = 0$，否则设排列 $A_{i j}$ 为将排列 $A$ 的第 $i$ 项 $a_i$ 和第 $j$ 项 $a_j$ 交换后得到的排列，则 $f(i, j) = v(A_{i j})$。 求 $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} f(i, j)$ 的值。答案可能很大，你只需要输出其对 $({10}^9 + 7)$ 取模的结果。

**本题有多组测试数据**。输入数据的第一行为一个整数 $T$，表示测试数据组数。 对于每组测试数据，第一行一个正整数 $n$ 表示排列的长度，接下来一行 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，描述输入的排列。

对于每组数据输出一行一个整数，表示题目所求的答案对 $({10}^9 + 7)$ 取模的结果。

2
3
1 2 3
3
2 3 1

12
0

**【样例解释 #1】** 对于第一组测试数据，$f(1, 2) = f(2, 1) = f(2, 3) = f(3, 2) = f(1, 3) = f(3, 1) = 2$，其余的 $f(i, j)$ 均为 $0$。 对于第二组测试数据，所有的 $f(i, j)$ 均为 $0$。 **【样例 #2】** 见附件中的 `perm/perm2.in` 与 `perm/perm2.ans`。 该组样例中，第一个测试数据满足 $n \le 35$，前四个测试数据满足 $n \le 200$，所有测试数据满足 $n \le 2500$。 **【样例 #3】** 见附件中的 `perm/perm3.in` 与 `perm/perm3.ans`。 该组样例中，第一个测试数据满足特殊性质 A，第二个测试数据满足特殊性质 B，第三个测试数据满足特殊性质 C，前四个测试数据满足 $n \le {10}^5$，第五个测试数据满足 $n \le 5 \times {10}^5$。 特殊性质的具体内容参见数据范围部分。 **【数据范围】** 对于 $100 \%$ 的测试数据，$1 \le T \le 5$，$1 \le n \le 5 \times {10}^5$，$1 \le a_i \le n$。 | 测试点编号 | $n \le$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:| | $1 \sim 2$ | ${10}^5$ | A | | $3$ | $35$ | 无 | | $4$ | $200$ | 无 | | $5$ | $2500$ | 无 | | $6$ | ${10}^5$ | B | | $7$ | ${10}^5$ | C | | $8$ | ${10}^5$ | 无 | | $9 \sim 10$ | $5 \times {10}^5$ | 无 | 特殊性质 A：$a_i = (i \bmod n) + 1$。 特殊性质 B：对于任意 $1 \le i \le n$，存在 $1 \le k \le 20$，$a^{(k)}_i = i$。 特殊性质 C：存在大小不超过 $10$ 的集合 $S$，使得对于任意 $1 \le i \le n$，存在 $x \in S, k \ge 0$，$a^{(k)}_x = i$。 **【提示】** 输入数据规模较大，请使用较为快速的输入方式。