[LNOI2022] 盒

有 $n$ 个不同的盒子排成一排。在初始状态下，第 $i$ 个盒子放有 $a_i$ 个货物，总货物数量为 $S = \sum_{i = 1}^{n} a_i$。对于非负整数数组 $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ 满足 $\sum_{i = 1}^{n} b_i = S$，考察以下问题： 你想让第 $i$ 个盒子中拥有恰好 $b_i$ 个货物，为此你可以做如下操作若干次：对两个相邻的盒子，把其中一个盒子的**恰好一个**货物移动至另一个。对 $i, i + 1$（$1 \le i < n$）号盒子做**一次**操作的代价为 $w_i$。**注意：将 $\bm{i}$ 号盒子的一个货物移动到 $\bm{i + 1}$ 号盒子和将 $\bm{i + 1}$ 号盒子的一个货物移动到 $\bm{i}$ 号盒子的代价都是 $\bm{w_i}$**。你需要保证在操作中不存在盒子中的货物数量是负数。 在以上问题下，定义从初始状态达到第 $i$ 个盒子拥有恰好 $b_i$ 个货物的状态的最小代价为 $\operatorname{val}(b_1, b_2, \ldots, b_n)$，你需要求出对所有满足 $\sum_{i = 1}^{n} b_i = S$ 的非负整数数组 $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$，$\operatorname{val}(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ 的和。输出这个答案对 $998244353$ 取模后的结果。

**本题有多组测试数据**。输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示测试数据组数。 对于每组数据，输入共三行。第一行一个正整数 $n$ 表示盒子的个数，第二行 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 描述初始状态，第三行 $n - 1$ 个正整数 $w_1, w_2, \ldots, w_{n - 1}$ 描述移动货物的代价。

对于每组测试数据输出一行一个整数，表示对于所有满足 $\sum_{i = 1}^{n} b_i = S$ 的非负整数数组，达到目标的代价的最小值之和模 $998244353$ 的结果。

2
2
2 3
65472
5
1 3 2 1 1
2 3 3 3

589248
8589

**【样例解释 \#1】** 对于第一组数据，一共有六种需要考虑的情形，它们的 $b_1$ 和 $b_2$ 构成的二元组 $(b_1, b_2)$ 分别为 $(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)$。 对于第一种情形，需要至少 $2$ 次移动，代价最小值为 $65472 \times 2 = 130944$。 对于第二种情形，需要至少 $1$ 次移动，代价最小值为 $65472$。 对于第三种情形，不需要做任何操作，代价最小值为 $0$。 对于第四种情形，需要至少 $1$ 次移动，代价最小值为 $65472$。 对于第五种情形，需要至少 $2$ 次移动，代价最小值为 $65472 \times 2 = 130944$。 对于最后一种情形，需要至少 $3$ 次移动，代价最小值为 $65472 \times 3 = 196416$。 因此，最小代价之和为 $130944 + 65472 + 0 + 65472 + 130944 + 196416 = 589248$。 **【样例 \#2】** 见附件中的 `box/box2.in` 与 `box/box2.ans`。 这个样例满足测试点 $5 \sim 8$ 的限制。 **【样例 \#3】** 见附件中的 `box/box3.in` 与 `box/box3.ans`。 这个样例满足测试点 $9 \sim 12$ 的限制。 **【样例 \#4】** 见附件中的 `box/box4.in` 与 `box/box4.ans`。 这个样例满足测试点 $13 \sim 14$ 的限制。 **【样例 \#5】** 见附件中的 `box/box5.in` 与 `box/box5.ans`。 这个样例满足测试点 $15 \sim 16$ 的限制。 **【样例 \#6】** 见附件中的 `box/box6.in` 与 `box/box6.ans`。 这个样例满足测试点 $17 \sim 18$ 的限制。 **【数据范围】** 保证对于任何测试点的任何一组数据，有 $2 \le n \le 5 \times {10}^5$，$1 \le S \le 2 \times {10}^6$，$a_i \ge 0$，$0 \le w_i < 998244353$。 | 测试点编号 | $T \le$ | $n \le$ | $S \le$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | $1 \sim 2$ | $1000$ | $5$ | $5$ | A | | $3 \sim 4$ | $5$ | $9$ | $9$ | 无 | | $5 \sim 8$ | $10$ | $2000$ | $2000$ | 无 | | $9 \sim 12$ | $10$ | $2000$ | $2 \times {10}^5$ | 无 | | $13 \sim 14$ | $2$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | B | | $15 \sim 16$ | $2$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | AC | | $17 \sim 18$ | $2$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | 无 | | $19 \sim 20$ | $5$ | $5 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^6$ | 无 | 特殊性质 A：对于任意 $1 \le i < n$，$w_i = 1$。 特殊性质 B：对于任意 $1 \le i < n - 20$，$a_i = 0$。 特殊性质 C：最多只有 $20$ 个 $i \in [1, n]$ 满足 $a_i \ne 0$。 **【提示】** 本题有读入量较大的测试点，为了优化程序运行的时间，我们建议你采用较为快速的读入方式。