黑暗(Darkness)
题目描述
铃在一个黑暗的三维空间内寻找澪。这个空间可以表示为 $\{(x,y,z) \mid x \in[0,A],y \in [0,B],z\in [0,C] \}$。铃初始站在坐标为 $(A,B,C)$ 处,澪站在 $(0,0,0)$ 处。假设铃在 $(x,y,z)$ 处,她每次移动会**均匀随机**地尝试移动到 $(x-1,y,z)$ 或 $(x,y-1,z)$ 或 $(x,y,z-1)$。
这个空间的外围是墙壁,不可穿过。由于空间内很暗,铃并不知道自己是否走到了墙边。也就是说,她在随机选择三种方向尝试移动时,有可能撞在墙上。
铃想要知道,自己在第一次撞墙时,「到澪的曼哈顿距离(在本题中的情况就是 $x,y,z$ 坐标之和)」的 $k$ 次方的期望值。
你只需要求出答案对 $998244353$ 取模的结果。
输入输出格式
输入格式
输入一行四个正整数 $A,B,C,k$。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
输入输出样例
输入样例 #1
1 1 1 1
输出样例 #1
443664158
输入样例 #2
2 3 4 2
输出样例 #2
128260948
输入样例 #3
4 6 9 2
输出样例 #3
622775535
输入样例 #4
58 88 133 233
输出样例 #4
128518400
输入样例 #5
114514 1919810 4999231 8214898
输出样例 #5
823989766
说明
【样例 $1$ 解释】
下表列出了走到各处并撞到墙的概率:
| $(0,0,0)$ | $(1,0,0)$ | $(0,1,0)$ | $(0,0,1)$ | $(1,1,0)$ | $(1,0,1)$ | $(0,1,1)$ |
| :-----------: | :-----------: | :-----------: | :-----------: | :-----------: | :-----------: | :-----------: |
| $2/9$ | $4/27$ | $4/27$ | $4/27$ | $1/9$ | $1/9$ | $1/9$ |
可以发现只有在这 $7$ 个位置有可能撞到墙。由此算出期望值为 $\dfrac{10}{9}$,在模 $998244353$ 意义下为 $443664158$。
【样例 $2,3$ 解释】
这里要算的都是距离的平方的期望。实际答案分别为 $\dfrac{30083}{2187}$ 和 $\dfrac{22748643655}{387420489}$。
【数据范围】
**本题采用捆绑测试。**
Subtask1(8 pts):$1\le A,B,C,k\le 6$;
Subtask2(19 pts):$1\le A,B,C \le 100$;
Subtask3(13 pts):$k=1$;
Subtask4(23 pts):$1\le A,B,C,k \le 10^5$;
Subtask5(37 pts):无特殊限制。
对于 $100\%$ 的数据,$1\le A,B,C \le 5\times 10^6$,$1\le k \le 10^7$。
【提示】
对于离散随机变量 $X$,其取值等于 $k$ 的概率设为 $P_k$,则 $X$ 的期望值定义为:
$$\sum_k kP_k$$
对于有理数 $a/b$($a,b$ 均为正整数),若整数 $r$ 满足 $r\in[0,p-1]$ 且 $rb \equiv a \pmod p$,则 $r$ 就是 $a/b$ 对 $p$ 取模的结果。