P8994 [北大集训 2021] 经典游戏

CTT2021 D4T2

某天，`C` 和 `K` 觉得很无聊，于是决定玩一个经典小游戏： 在一棵有 $n$ 个结点的有根树上，标号为 $i$ 的节点上有 $a_i$ 个棋子。游戏时玩家轮流操作，每次可以将任意一个节点 $u$ 上的一个棋子放置到任意一个点 $v \in U(u)$上，其中 $U(u)=subtree\{u\}\setminus\{u\}$ ，表示 $u$ 的子树内（不包含 $u$ 本身）的点组成的集合。不能进行操作者失败。 而 `C` 和 `K` 作为 `P**` 和 `T**` 的在读学生，这种一眼就能找出必胜策略的游戏实在是索然无味，于是两人觉得，每个人给自己一个特殊能力可能会比较有趣： `C` 在开始游戏之前，**可以选择**将当前树的树根 $R$ 换到与 $R$ 相邻的任意一个点 $R^{\prime}$ 上。定义两个点相邻当且仅当这两个点有边直接相连。 `K` 在开始游戏之前，**必须选择**树上的一个节点，在上面加上一颗棋子。 `C` 和 `K` 决定玩 $m$ 局游戏。每局游戏的流程如下： 1. 游戏开始前，`C` 和 `K` 会商量好，先在标号为 $x$ 的节点上放上一个棋子，然后将树根设为 $y$。 2. 之后 `C` 可以选择是否发动特殊能力，`C` 决策完之后 `K` 可以选择是否发动特殊能力。 3. 特殊能力的决策结束后，会在这棵树上进行一局 `C` 先手、`K` 后手的游戏。游戏完成后会将树上棋子的状态**还原到流程 `1` 结束后的状态**。 `C` 觉得这个游戏可以出成一个简单题，于是他决定考考你：`C` 在每局游戏的第二步的时候，有多少种决策方式使得不管 `K` 如何进行特殊能力的操作，开始游戏时都存在**必胜策略**？两种决策方式不同，**当且仅当**两种决策**更换的树根** $R^{\prime}$ **不同**，或者**两者中仅有一个没有发动特殊能力**。

第一行包括一个整数，表示该测试点所在的子任务的分数。你可以使用这个信息判断该测试点满足的特殊性质。特别的，下发样例中此行使用 $0$ 代替。 第二行包含两个用空格隔开的正整数 $n, m$，表示树的节点数目以及游戏的轮数。树上的节点从 $1$ 到 $n$ 编号。 接下来 $n-1$ 行，每行包含两个用空格隔开的正整数 $u_i,v_i$，满足 $1 \le u_i,v_i \le n$，表示编号为 $u_i$ 和 $v_i$ 的节点之间有边直接相连。 接下来一行包含 $n$ 个用空格隔开的整数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$，满足 $0 \leq a_1,a_2,\ldots,a_n \leq 10^9$。 接下来 $m$ 行，每行包含两个用空格隔开的正整数 $x, y$ 描述一局游戏，满足 $1 \le x,y \le n$。

你需要输出 $m$ 行，其中第 $i$ 行应当包含一个非负整数 $x$ 表示第 $i$ 局游戏中，`C` 存在多少种使用特殊能力的决策方案，使得 `C` 在这局游戏中存在必胜策略。注意，**不使用特殊能力**也是一种**可能可行**的决策方案。

| 子任务分数 | $1\le n,m\le$ | $\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\le$ | 特殊性质 | | :--------: | :-----------: | :----------------------------: | :--------------------------------: | | $16$ | $5$ | $1$ | 无 | | $15$ | $300$ | $1$ | 无 | | $14$ | $5000$ | $10^9$ | 无 | | $13$ | $100000$ | $10^9$ | 保证给出的树是一条链 | | $12$ | $100000$ | $10^9$ | 保证给出的树存在一个点度数为 $n-1$ | | $11$ | $100000$ | $10^9$ | 保证 $m$ 次游戏初始给定根一致 | | $10$ | $500000$ | $10^9$ | 无 | | $9$ | $1000000$ | $10^9$ | 无 |