P9317 [EGOI 2022] SubsetMex / 子集 mex
题目背景
Day 1 Problem A.
题面译自 [EGOI2022 subsetmex](https://stats.egoi.org/media/task_description/2022_subsetmex_en.pdf)。
[](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
题目描述
一个*可重集*是元素可以重复出现的集合。例如，$\{0,0,1,2,2,5,5,5,8\}$ 是一个可重集。
给定一个可重集 $S$，值域为 $\N$，和一个目标自然数 $n$（$n\notin S$），你的目标是通过重复进行若干次以下的操作，使得 $n\in S$：
1. 选择一个（可以为空的）子集 $T\subseteq S$，其中 $T$ 不包含重复元素。
2. 在 $S$ 中删除 $T$ 中的元素。（重复元素只删除一个。）
3. 将 $\operatorname{mex}(T)$ 插入 $S$，其中 $\operatorname{mex}(T)$ 是最小的不在 $T$ 中的自然数。$\operatorname{mex}$ 意味着“最小不包含”的值。
你需要求出最少的能使得 $n\in S$ 的操作次数。
由于 $|S|$ 可能很大，它将以一个大小为 $n$ 的列表 $(f_0,\ldots f_{n-1})$ 的形式给出，其中 $f_i$ 代表 $i$ 在 $S$ 中的出现次数。（请回忆 $n$ 是我们想要插入 $S$ 的元素。）
输入格式
第一行一个整数 $t$——数据组数。之后每两行描述一组数据：
- 每组数据的第一行一个整数 $n$，表示要插入 $S$ 的元素。
- 每组数据的第二行 $n$ 个整数 $f_0,f_1,\ldots,f_{n-1}$，按照上述方式描述了集合 $S$。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个整数，表示最少操作次数。
说明/提示
**样例 $1$ 解释**
初始 $S=\{1,1,1,3,3,3\}$，目标是使得 $4\in S$。我们如下操作：
1. 令 $T=\varnothing$，则 $S=\{0,1,1,1,3,3,3\}$。
2. 令 $T=\{0,1,3\}$，则 $S=\{1,1,2,3,3\}$。
3. 令 $T=\{1\}$，则 $S=\{0,1,2,3,3\}$。
4. 令 $T=\{0,1,2,3\}$，则 $S=\{3,4\}$。
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**数据范围**
对于全部数据，$1\le t\le 200$，$1\le n\le 50$，$0\le f_i\le 10^{16}$。
- 子任务一（$5$ 分）：$n\le 2$。
- 子任务二（$17$ 分）：$n\le 20$。
- 子任务三（$7$ 分）：$f_i=0$。
- 子任务四（$9$ 分）：$f_i\le 1$。
- 子任务五（$20$ 分）：$f_i\le 2\times 10^3$。
- 子任务六（$9$ 分）：$f_0\le 10^{16}$ 且 $\forall j\ne 0,f_j=0$。
- 子任务七（$10$ 分）：$\exists i,f_i\le 10^{16}$ 且 $\forall j\ne i,f_j=0$。
- 子任务八（$23$ 分）：无特殊限制。