[NFLSPC #6] 真理祭坛

天色已晚，围观的人群散得差不多了。人们可能都没有注意到，还有一个瘦小的身影在向真理祭坛跑去。 「你是哪个领域的科学家？怎么就你一个人？」排险者歪了歪头，看着眼前的小 Y 问道。 「我不是科学家。我只是一个高中生。」 「学生？」排险者很困惑，「那你想问什么？」 「我想知道宇宙的终极规律。」 「既然你只是个学生，你认为我该如何让你理解宇宙的规律呢？」 「啊？」小 Y 似乎感到很惊讶，片刻之后，他的脸上出现了些许失望的神情。「宇宙的真理不应该简洁到每个人都能理解吗……难道不是吗？」 「真理可没这么简单。且不说宇宙，我在此随意给你一些『道理』，你能用简洁的语言描述它吗？」 小 Y 抬起头来，看着排险者用全息投影显示在天空中的几串密密麻麻的零和一，陷入了沉思。

有 $n$ 个 **命题变项**，记作 $P_0, P_1, \cdots, P_{n - 1}$，其 **真值** 是一个布尔值，要么为 $0$ 要么为 $1$。 我们称一个 **道理** 是一个输入 $n$ 个布尔值、输出一个布尔值的函数，即一个 $\{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ 的映射。 满足特定条件的字符串称为 **合式公式**（Well-Formed Formula，WFF），每个合式公式都对应着唯一一个道理，称为该公式的 **真值表**。具体地： - 一个命题变项 $P_i$ 是合式公式，它的真值表总是输出其所接受的第 $i$ 个输入值（$n$ 个输入值的编号依次为 $0, 1, \cdots, n - 1$）。 - 如果 $k$ 个字符串 $A_1, A_2, \cdots, A_k$（$k \geq 1$）都是合式公式，则 $(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k)$ 也是合式公式，它的真值表在接受输入 $I$ 时输出的值为 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 分别的真值表接受 $I$ 时输出的值的最小值。 - 如果 $k$ 个字符串 $A_1, A_2, \cdots, A_k$（$k \geq 1$）都是合式公式，则 $(A_1 \lor A_2 \lor \cdots \lor A_k)$ 也是合式公式，它的真值表在接受输入 $I$ 时输出的值为 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 分别的真值表接受 $I$ 时输出的值的最大值。 - 如果 $A$ 是合式公式，则 $\lnot A$ 也是合式公式，设 $A$ 的真值表接受输入 $I$ 时输出 $x$，则 $\lnot A$ 的真值表接受 $I$ 时输出 $1 - x$。 定义一个合式公式的 **大小** 为其所包含的 $\land$ 和 $\lor$ 的数量。现给定一个道理，请找到一个合式公式，使得其真值表是该道理，在此前提下让公式的大小尽可能小。

**本题为提交答案题**，所有数据 `formula1.in` 至 `formula10.in` 已在附加文件中。 输入的第一行包含一个整数 $n$。 输入的第二行包含一个长度为 $2^n$ 的字符串 $a_{0 \sim 2^n - 1}$，描述给定的道理：如果对于任意 $0 \leq i < n$，输入的第 $i$ 个值是 $\left\lfloor\frac{x}{2^i}\right\rfloor \bmod 2$，则道理的输出为 $a_x$。 输入的第三行包含 $10$ 个评分参数，具体用处见「说明/提示」。

针对给定的 $10$ 个输入文件，你需要分别提交你的输出文件 `formula1.out` 至 `formula10.out`。 每个输出文件包含一行，表示你给出的合式公式。其中括号用 `()` 表示，命题变项 $P_i$ 用数字 $i$ 表示（由于 $n \leq 10$，这一定是单个字符），$\land$ 用 `&` 表示，$\lor$ 用 `|` 表示，$\lnot$ 用 `!` 表示。**请不要擅自省略括号。**

2
1101
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(!1|0)

对于所有数据，$1 \leq n \leq 10$。 对于每组数据，我们采用如下方式评分： - 如果你的输出长度大于 $10^5$，得 $0$ 分。 - 如果你的输出不是合式公式，得 $0$ 分。 - 如果你的合式公式的真值表与输入给定的道理不同，得 $0$ 分。 - 如果上述条件都不满足，设 $s_{1 \sim 10}$ 为评分参数，$S$ 为你的公式的大小，则得分为 $\sum_{i = 1}^{10}[S \leq s_i]$。 每组数据满分 $10$ 分，共 $10$ 组数据，总分 $100$ 分（乘以得分系数前）。**保证存在满分解**。 --- 我们提供了工具来测试你的输出。 下载附加文件 `checker.cpp` 并编译得到可执行文件 `checker.exe`（Windows）或 `checker`（Linux），其用法如下： - 在终端中输入 `checker.exe X`（Windows）或 `./checker X`（Linux），或直接运行后输入 `X` 并换行，可以对第 $X$ 组数据 `formulaX.in/out` 进行测试。 - 在终端中输入 `checker.exe A B`（Windows）或 `./checker A B`（Linux），或直接运行后输入 `A B` 并换行，可以对输入文件名为 $A$、输出文件名为 $B$ 的数据进行测试。 - 如果输入不合法或输出有错误，会有相应提示。 - 如果没有错误，则会给出你的合式公式的大小。 - 输入文件可以与输入格式的描述完全相符，也可以略去评分参数一行。若 checker 检测到存在评分参数一行，还会给出你的得分。 Source：NFLSPC #6 C by chenxia25