SP1775 BOOLE - Boolean Logic

在逻辑学中，命题是由命题符号和连接运算符组成的公式。根据下面的规则，它们可以递归地定义： 1. 小写字母（例如 `a` 和 `z`）代表命题符号，而这些符号本身就是命题。 2. 如果 $P$ 是一个命题，那么 `(!``P``)` 也是一个命题，同时 $P$ 是其直接子公式。 3. 如果 $P$ 和 $Q$ 是命题，那么 `(``P``&``Q``)`, `(``P``|``Q``)`, `(``P``-->``Q``)`, 和 `(``P````Q``)` 都是命题，并且 $P$ 和 $Q$ 是它们的直接子公式。 4. 以上规则之外的任何表达式都不是命题。 运算符 `!`, `&`, `|`, `-->`, 和 `` 分别表示否定、合取、析取、蕴含和等价。如果 $P=R$，或者 $P$ 是 $Q$ 的直接子公式而 $Q$ 又是 $R$ 的子公式，那么 $P$ 是 $R$ 的子公式。设 $P$ 是一个命题，我们为出现在 $P$ 中的每个命题符号赋布尔值（即 `0` 或 `1`）。根据通常的逻辑运算语义，$P$ 的所有子公式的布尔值可以这样计算： - 否定：`!``0` 结果是 `1`，`!``1` 结果是 `0` - 合取：`0``&``0` 结果是 `0`，`0``&``1` 结果是 `0`，`1``&``0` 结果是 `0`，`1``&``1` 结果是 `1` - 析取：`0``|``0` 结果是 `0`，`0``|``1` 结果是 `1`, `1``|``0` 结果是 `1`，`1``|``1` 结果是 `1` - 蕴含：`0``-->``0` 结果是 `1`，`0``-->``1` 结果是 `1`，`1``-->``0` 结果是 `0`，`1``-->``1` 结果是 `1` - 等价：`0````0` 结果是 `1`，`0````1` 结果是 `0`，`1````0` 结果是 `0`，`1````1` 结果是 `1` 通过这种方式，我们可以确定命题 $P$ 的值。这个值取决于为命题符号指定的布尔值的组合。如果 $P$ 包含 $n$ 个不同的命题符号，就存在 $2^{n}$ 种不同的赋值组合。为了评估所有可能的赋值组合，可以使用真值表。 真值表中，每种赋值对应一行（总共有 $2^{n}$ 行）。每一行展示在选定赋值下的所有子公式的值。如果子公式是一个命题符号，其值与该符号对齐，否则则与其中运算符居中对齐。 **本翻译由 AI 自动生成**

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