SP6726 GOLDG - Goldbach graphs

Christian Goldbach 在 1742 年给 Leonhard Euler 写信时，提出了一个知名的猜想： > 「所有大于 4 的偶数都可以表示为两个奇素数之和。」 为了验证给定偶数 $n$（$n > 0$）的 Goldbach 猜想，我们定义出有向图 $G(n)$，即所谓的 $n$ 的 Goldbach 图。具体定义如下： - 节点：所有小于 $n$ 的素数 $p$，满足 $1 < p < n$。 - 对于每个节点 $p$，根据以下规则确定其出边： - 如果 $p + q = n$ 且 $q = 1$，则 $p$ 没有出边。 - 如果 $p + q = n$ 且 $q$ 的素因数分解为 $q = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$（其中 $q > 1$），那么对每个 $i = 1, 2, \ldots, k$，在图中添加一条从 $p$ 到 $p_i$ 的有向边。注意每个 $p_i$ 必须是素数。此外，如果 $k = 1$，那么 $q$ 是素数，我们就找到了一个 Goldbach 猜想的解。 **例如：** - $G(2)$ 是空图（无节点） - $G(4)$ 包含两个节点和一条边。 节点 = $\{2, 3\}$ 边 = $\{2 \rightarrow 2\}$ - $G(6)$ 包含三个节点和三条边 节点 = $\{2, 3, 5\}$ 边 = $\{2 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 2, 3 \rightarrow 3\}$ 需要注意的是，边 $2 \rightarrow 2$ 在 $G(6)$ 中出现了两次，因为当 $p = 2$ 时，$q = 4 = 2 \times 2$ Goldbach 猜想的解可以通过图 $G(n)$ 中的某些环来表示，具体有： - 单节点环（类型 I）：某节点 $p$ 有且仅有一条出边 $p \rightarrow p$。 - 双节点环（类型 II）：两个节点 $p_1$ 和 $p_2$ 互连，存在唯一的出边 $p_1 \rightarrow p_2$ 和 $p_2 \rightarrow p_1$。 你的任务是从给定节点 $x$ 开始，检查有向图 $G(n)$，以寻找从 $x$ 可到达的节点中符合 Goldbach 猜想的解。如果找到了属于类型 I 或类型 II 的环，需要报告从 $x$ 到环中某节点的最小距离。如果找不到这样的解，就应该声明未找到解。 需要注意的是，$G(n)$ 可能含有其他类型的环，避免算法进入死循环。

输入由多行组成，每行都是一个不同的测试用例。每行包括一对数字，代表 $n$ 和 $x$。假设 $n$ 是偶数，并且 $2 \leq n \leq 1000$。虽然 $0 < x < n$ 成立，但不要假设 $x$ 是 $G(n)$ 中的有效节点。输入的最后一行是数字 0（这不是测试用例）。

对于每个测试用例，输出以下三种情况之一： - 如果在距离 $x$ 的某距离处找到了解，输出：`Solution found at distance D.` - 如果无法到达解，输出：`Solution not reachable.` - 如果 $x$ 不是有效的节点，输出：`x is not a node!` 其中 $D$ 表示从 $x$ 到达解的最小距离。 **本翻译由 AI 自动生成**