T671620 训练题（数学5）

出题人真的很喜欢 $\gamma$，所以题目多多少少都带点 $\gamma$。~~出题人这回没看番。~~ 本题是由 $\Gamma$ 函数的性质进而得到的，可以作为[（数学3）](https://www.luogu.com.cn/problem/T669555)的补充题。 备注：$\mathrm{Nano}$ 是日常里[東雲なの](https://mzh.moegirl.org.cn/%E4%B8%9C%E4%BA%91%E5%90%8D%E4%B9%83)的英译。 ## $「青春の毎日はとても貴重です！」$ 

已知 $$ \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt $$ 并且，根据该积分，我们能得到如下性质： - $\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)$ - $\Gamma(s)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^s}{s(s+1)\cdots(s+n)}$ - $\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin s\pi}$ 以上是本题的提示，你可能**不需要这些提示**也能做出这道题。 定义： $$ \mathrm{Nano}=\prod_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[n]e}{1+n^{-1}} $$ 现在，你要求解 $\mathrm{Nano}$ 的具体数值，保留 $12$ 位小数即可。 注意，你或许不需要使用数学方法将其求出，你可以尝试使用『自适应辛普森法』进行求解。

无

一个数 $\mathrm{Nano}$ 保留 $12$ 位小数。

本题并非 SPJ，是提交答案题，要求严格保留 $12$ 位。