T679431 Anby loves gamma constant II

出题人是 $\gamma$ 厨。 本题是出题人在草稿纸上乱搞弄出来的一道题。 

已知： $$ \zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^z} $$ 结合 [训练3](https://www.luogu.com.cn/problem/T669555) 中提到的 $\Gamma$ 函数，你会得到如下性质： - $\zeta(s)\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^\infty{\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,dx}$ - $\zeta(s)=\zeta(1-s)\Gamma(1-s)2^s\pi^{s-1}\sin{\frac{1}2\pi s}$ - $\cdots$ 定义： $$ \mathrm{I}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}n\zeta(n) $$ 现在，你要求解 $\mathrm{I}$ 的具体数值，保留 $12$ 位小数即可。 注意，你或许不需要使用数学方法将其求出，你可以尝试使用『自适应辛普森法』进行求解。

无

一个数 $\mathrm{I}$ 保留 $12$ 位小数。

本题并非 SPJ，是提交答案题，要求严格保留 $12$ 位。