### 一、单选题 1.若集合 $M=\{ x|\sqrt{x}<4\}$，则$M\cap N=$（） A．$\{ x|0\leq x < 2\}$ B．$\{ x|\frac{1}{3}\leq x < 2\}$ C．$\{ x|3\leq x < 16\}$ D．$\{ x|\frac{1}{3}\leq x < 16\}$ 2.若$i(1-z)=1$，则$z+\overline{z}=$（） A．$-2$ B．$-1$ C．$1$ D．$2$ 3.在$\Delta ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD=2DA$．记$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{m},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{CB}=$（） A．$3\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}$ B．$-2\overrightarrow{m}+3\overrightarrow{n}$ C．$3\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$ D．$2\overrightarrow{m}+3\overrightarrow{n}$ 4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔$148.5m$时，相应水面的面积为$140.0km^2$；水位为海拔$157.5m$时，相应水面的面积为$180.0km^2$，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔$148.5m$上升到$157.5m$时，增加的水量约为（$\sqrt{7} \approx 2.65$）（） A．$1.0×10^9 m^3$ B．$1.2×10^9 m^3$ C．$1.4×10^9 m^3$ D．$1.6×10^9 m^3$ 5.从$2$至$8$的$7$个整数中随机取$2$个不同的数，则这$2$个数互质的概率为（） A．$\frac{1}{6}$ B．$\frac{1}{3}$ C．$\frac{1}{2}$ D．$\frac{2}{3}$ 6.记函数$f(x)= \sin ( \omega x +\frac{\pi}{4})+b(\omega>0)$的最小正周期为$T$．若$\frac{2\pi}{3}0)$上，过点$B(0,-1)$的直线交$C$于$P，Q$两点，则（） A．$C$的准线为$y=-1$ B．直线$AB$与$C$相切 C．$|OP|·|OQ|>|OA|^2$ D．$|BP|·|BQ|>|BA|^2$ 12.已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$R$，记$g(x)=f'(x)$，若$f(\frac{3}{2}-2x),g(2+x)$，均为偶函数，则（） A．$f(0)=0$ B．$g(-\frac{1}{2})=0$ C．$f(-1)=f(4)$ D．$g(-1)=g(2)$ ### 三、填空题 13.$(1-\frac{y}{x})(x+y)^8$的展开式中$x^2y^6$的系数为________________（用数字作答）． 14.写出与圆$x^2+y^2=1$和$(x-3)^2+(y-4)^2=16$都相切的一条直线的方程________________． 15.若曲线$y=(x+a)$e$^x$有两条过坐标原点的切线，则$a$的取值范围是________________． 16.已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}(a>b>0)$，$C$的上顶点为$A$，两个焦点为$F_1$，$F_2$，离心率为$\frac{1}{2}$．过$F_1$且垂直于$AF_2$的直线与$C$交于$D，E$两点，$|DE|=6$，则$\Delta ADE$的周长是________________． ### 四、解答题 17.记$S_n$为数列${a_n}$的前$n$项和，已知$a_1=1,\{\frac{S_n}{a_n}\}$是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列． (1)求${a_n}$的通项公式； (2)证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}<2$． 18.记$\Delta ABC$的内角$A，B，C$的对边分别为$a，b，c$，已知$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$． (1)若$C=\frac{2\pi}{3}$，求$B$； (2)求$\frac{a^2+b^2}{c^2}$的最小值． 19.如图，直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的体积为$4$，$\Delta A_1BC$的面积为$2\sqrt{2}$． ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/qu474ku8.png) (1)求$A$到平面$A_1BC$的距离； (2)设$D$为$A_1C$的中点，$AA_1=AB$，平面$A_1BC⊥$平面$ABB_1A_1$，求二面角$A-BD-C$的正弦值． 20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了$100$例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了$100$人（称为对照组），得到如下数据： | | 不够良好 | 良好 | | :----------: | :----------: | :----------: | | 病例组 | 40 | 60 | | 对照组 | 10 | 90 | (1)能否有$99\%$的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，$A$表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，$B$表示事件“选到的人患有该疾病”．$\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}$与$\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为$R$．（ⅰ）证明：$R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}·\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$；（ⅱ）利用该调查数据，给出$P(A|B),P(A|\overline{B})$的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出$R$的估计值．附$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ | $P(K^2 \geq k)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 | 21.已知点$A(2,1)$在双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}$上，直线$l$交$C$于$P，Q$两点，直线$AP,AQ$的斜率之和为$0$． (1)求$l$的斜率； (2)若$\tan∠PAQ=2\sqrt{2}$，求$\Delta PAQ$的面积． 22.已知函数$f(x)=$e$^x-ax$和$g(x)=ax-$ln$x$有相同的最小值． (1)求$a$； (2)证明：存在直线$y=b$，其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

U240194 2022新高考Ⅰ 卷数学

题目描述

输入格式

输出格式