1.1 进制与字节
题单介绍
数学中常用的十进制的定义：逢十进一
即9+1=10。在十进制下的数$123=1*10^2+2*10^1+3*10^0$
以此类推，X进制下逢X进一。在X进制下的数$123=1*X^2+2*X^1+3*X^0$
在计算机中，由于最小单位只有高电位和低电位两种可能，即1和0。所以绝大部分计算机都是二进制的。那么运算时也都是在二进制下进行运算。
但由于二进制下表示一个数会导致这个数写出来会很长，为了缩短长度，我们还常用8进制和16进制表示一个数。（不用十进制是因为二进制与十进制转换比较慢）
那么一个数怎么在二进制与十进制之间转换呢？
若果要让二进制数1101转换为十进制的话，我们可以使用进制的定义来转换：
$1101=1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=8+4+1=13$
若果要让十进制数1101转换为二进制的话，我们可以先判断这个数在二进制下的最低位是多少，再判断上面的位是什么：
根据二进制的定义，若一个二进制数有n位，那么可以表示为$a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}...a_{2}a_{1}a_{0}$，每一位$a_i$都可以是0或者1。那么他在十进制下的值为$a_{n-1}*2^{n-1}+a_{n-2}*2^{n-2}+a_{n-3}*2^{n-3}+...+a_{2}*2^{2}+a_{1}*2^{1}+a_{0}*2^{0}$
很显然，减去$a_0$后这个数一定是2的倍数。若这个数是奇数，那么$a_0=1$，否则$a_0=0$。
得到最低位$a_0$的值后，将原来的数除以2。得到的数等于$a_{n-1}*2^{n-2}+a_{n-2}*2^{n-3}+a_{n-3}*2^{n-4}+...+a_{2}*2^{1}+a_{1}*2^{0}$
也就是二进制下的$a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}...a_{2}a_{1}$。那么$a_1$的求法与$a_0$一样。
一直求最后一位数，直到二进制的每一位数的值都求完了为止。
或者说，每一次除以二，把余数按顺序记下来，直到数被除为0。然后把余数从后往前写一边，就是这个数的二进制了。
比如十进制数123转化为二进制：
```
123 … 1
61 … 1
30 … 0
15 … 1
7 … 1
3 … 1
1 … 1
0
那么123对应的二进制就是1111011
```
十进制小数转化为二进制也是类似的方法：每次将其乘2，把整数部分提取出来。直到为0为止。（可能会出现无法停止的情况，那么就是无限循环小数）
比如十进制小数0.625转化为二进制：
```
0.625 … 0
1.25 … 1
0.5 … 0
1 … 1
那么0.625对应的二进制就是0.101
```
二进制与八进制的互相转换：
二进制数11010011101转化为八进制时，先将其分割成三位一组（不足则前面补0）011 010 011 101。对于每一组将其转化为八进制，再连起来，变成3235。
八进制转化为二进制时也是一样，先将每位数字转化为3位的二进制，再将他们连起来。比如八进制数1234转化为二进制后，为 001 010 011 100，即1010011100。
二进制与十六进制的转化方式与八进制类似，把3位1组改为4位1组即可。
字节：在计算机中8个二进制位为一个字节。字节是计算机存储的基本单位。
在c语言中，整数常量可以用十进制、八进制和十六进制来表示。八进制要在数字前加0，十六进制要在数字前加0x。十六进制里的数字若大于9，则从小到大用字母ABCDEF表示。
比如十进制的123在c语言里有三种表示法：
```
123 (十进制）
0173 （八进制）
0x7B （十六进制）
```
[习题](https://www.luogu.com.cn/paste/rw99xjea)