图解三角函数（壹）
Swirl
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算法·理论
OI 中不少地方都要用到三角函数，对吧？
（注：所有需要记忆的内容都用“记点”来表示）
前铺：任意角
顾名思义，任意角就是任意的角。
首先搬出角的定义：
角是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
然而它并没有规定角的旋转度数一定在 \left[0^{\circ},360^{\circ}\right]。
- 记点 1：我们规定任意角 \alpha^{\circ} 为一条射线转 \alpha^{\circ} 度得到的射线与原射线构成的图形（\alpha \gt 0 为逆时针，\alpha \lt 0 为顺时针）。
那么所有形如上图的角可以表示为（k 表示逆时针转了多少圈）：
\{\alpha | \alpha = k \times 360^{\circ} + 30^{\circ} ,(k \in \mathbb Z) \}
前铺：弧度制
- 记点 2：弧度制，指用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式。
即将所有的任意角表示成角度扫过单位圆（半径为 1）上的周长和。
如上图的角度可以表示为：
\{\beta | \beta = 2k\pi + \frac{\pi}{6} ,(k \in \mathbb Z) \}
（公式中 \frac{\pi}{6} 是举例，真实情况请自己按照弧度制定义转化）
正题：三角函数定义
单位圆上任意一点 (x, y)，设原点向其引的射线与 x 轴非负半轴的夹角为 \alpha（弧度制）。
\sin \alpha = y\\
\cos \alpha = x\\
\tan \alpha = \frac{y}{x}
如下图所示：
正题：同角三角函数基本关系
因为 \sin \alpha = y, \cos \alpha = x，则 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x} = \tan \alpha。
又因为 \vert\sin \alpha\vert, \vert\cos \alpha\vert, 1 构成了一个直角三角形，所以根据勾股定理有：
\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1^2 = 1
正题：三角函数的诱导公式
公式 1
由于所有在 \{\beta | \beta = 2k\pi + \alpha ,(k \in \mathbb Z) \} 中的元素在单位圆上的对应位置相同，所以有：
\sin (\alpha \pm 2\pi) = \sin \alpha\\
\cos (\alpha \pm 2\pi) = \cos \alpha\\
\tan (\alpha \pm 2\pi) = \tan \alpha
公式 2
如上图，\sin (\alpha + \pi) 、\sin \alpha 与 \cos(\alpha + \pi)、\cos \alpha 分别互为相反数。
那么我们能得到以下公式：
\sin (\alpha \pm \pi) = -y = -\sin \alpha\\
\cos (\alpha \pm \pi) = -x = -\cos \alpha\\
\tan (\alpha \pm \pi) = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = \tan \alpha
公式 3
如图所示，\sin (\pi - \alpha)=\sin \alpha、\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha，所以有：
\sin (\pi - \alpha) = y = \sin \alpha\\
\cos (\pi - \alpha) = -x = -\cos \alpha\\
\tan (\pi - \alpha) = \frac{y}{-x} = - \frac{y}{x} = -\tan \alpha
公式 4
如上图，可以得到以下公式：
\sin (\alpha + \frac{\pi}{2}) = x = \cos \alpha\\
\cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) = -y = - \sin \alpha\\
\tan (\alpha + \frac{\pi}{2}) = \frac{x}{-y} = -\frac{1}{\frac{y}{x}} = -\frac{1}{\tan \alpha}
公式 5
如图，得：
\sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = x = \cos \alpha\\
\cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = y = \sin \alpha\\
\tan (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{x}{y} = \frac{1}{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\tan \alpha}
公式 6
\sin (- \alpha) = \sin ((\pi - \alpha) - \pi) = -\sin \alpha\\
\cos (- \alpha) = \cos ((\pi - \alpha) - \pi) = \cos \alpha\\
\tan (- \alpha) = \frac{\sin ( - \alpha)}{\cos(-\alpha)} = \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \tan \alpha
正题：两角和差公式
设 \alpha, \beta 为两个任意角。
- 记点 4（记不住考场现推不一定推的出来）：两角和公式。
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
（自己编一个口诀记一下）。
然后可以得到两角差公式：
\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos ( - \beta) + \cos \alpha \sin (- \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\\
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos (- \beta) - \sin \alpha \sin (-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
证明：
作 \angle BOD = \beta, \angle AOD = \alpha，则 \angle AOB = \alpha - \beta。
将 $\Delta AOB$ 绕 $O$ 旋转 $\beta$ 至 $\Delta COD$。
$C$ 点坐标为 $(\cos (\alpha - \beta), \sin (\alpha - \beta))$，$D$ 点坐标为 $(1, 0)$。
用两点距离公式：
$$
\begin{align*}
AB^2 = CD^2 &= (\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 + \sin^2(\alpha - \beta) \\
&= 2 - 2\cos(\alpha - \beta)
\end{align*}
$$
化简：
$$ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$
然后互相转化即可。
**得证**。
（证明过程或更多证明方式请参考 [link](https://zhuanlan.zhihu.com/p/361839484)）。
正题：二倍角公式
由两角和差公式得：
\begin{align*}
\sin (2\alpha) &= \sin(\alpha + \alpha)\\
&= \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\
&= 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{align*}
\\
\begin{align*}
\cos (2\alpha) &= \cos(\alpha + \alpha)\\
&= \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\
&= \cos^2 \alpha - \sin ^ 2 \alpha
\end{align*}
正题：半角公式
设有一任意角 \alpha，取 \beta = \frac{\alpha}{2}。
根据同角三角函数基本性质，有：
\sin ^2 \beta + \cos ^ 2 \beta = 1
根据二倍角公式：
\begin{align*}
\cos \alpha &= \cos ^ 2 \beta - \sin ^ 2 \beta\\
&= (\sin^2 \beta + \cos ^ 2 \beta) - 2\sin ^ 2 \beta\\
&= 1 - 2 \sin ^ 2 \beta
\end{align*}
则：
\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}\\
2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha\\
\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha} {2}\\
\sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha} {2}}
同理：
\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}
那么：
\begin{align*}
\tan \frac{\alpha}{2} &= \pm\frac{\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha} {2}}}{\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}}\\
&= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha} {1 + \cos \alpha}}
\end{align*}
其中正负号取决于 \frac{\alpha}{2} 是第几象限角。
正题：和差化积与积化和差
需要用到一点点构造思想，如果想不到的可以将以下公式作为记点 4.5。
和差化积
因为 \alpha = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\alpha - \beta} {2}，\beta = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2}，所以：
\begin{align*}
\sin \alpha + \sin \beta &=
\sin(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\alpha - \beta} {2})
+
\sin (\frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2})\\
&= \sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta} {2} + \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta} {2}\\
&+ \sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}\\
&= 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}
其他情况同理。
你需要熟练运用两角和差公式、诱导公式和一点构造能力。
积化和差
积化和差可以直接从和差化积推得（或者逆推也行）。
\begin{align*}
\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2} &= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{2}\\
&= \frac{2\sin \alpha \cos \beta}{2}\\
&= \sin \alpha \cos \beta
\end{align*}
其他的同理。
正题：辅助角公式
先说结论：
对于 a, b, x \in \mathbb{R}，有：
a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin (x + \varphi)
其中 \varphi \in \left ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ), \tan \varphi = \frac{b}{a}。
还有很多等价形式相信读者能自行推导。
证明如下：
\begin{align*}
y &=
a \sin x + b \cos x \\
&= \sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin x \times \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \cos x \times \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) \\
&= \sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin x \times \cos \varphi + \cos x \times \sin \varphi \right ) \\
&= \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \varphi)
\end{align*}
观察到 \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2+\left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1，则 \varphi 确实满足条件。
此时：
\tan \varphi = \frac{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}}{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}} = \frac{b}{a}
就搞定了。
附录：习题集
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