【硬核】集合论 - 序数 - 第五章 - α 函数

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这是这一系列的第五章，第四章在这。

我们对于一条反射链，比如 \alpha\to\beta\to\beta+1，我们定义其 \alpha(0)=\alpha,\alpha(1)=\beta,\alpha(2)=\beta+1。

如果一个序数后面能接 n 条稳定链，我们称其为 n-\operatorname{ply-stable}。

考察一条长度为 \omega 的稳定链，对于任何有限数 x，\alpha(x) 是 \omega-\operatorname{ply-stable} 的。

那么 \alpha(0) 等于第一个 \omega-\operatorname{ply-stable}，\omega-\pi-\Pi_0。

继续增大，$\omega-\pi-\Pi_0\ 1-\omega-\pi-\Pi_0,2-\omega-\pi-\Pi_0,\omega-\omega-\pi-\Pi_0,\omega-\pi-\Pi_0-\omega-\pi-\Pi_0,(\omega-\pi-\Pi_0-)^n$，折叠这一切的是 $\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0)-\Pi_1$。 然后，$\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0)-\Pi_\omega=\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0+1)-\Pi_1,\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_02)-\Pi_1,\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0^2)-\Pi_1,\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0^{\Pi_0})-\Pi_1,\dots,\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0-\omega-\pi-\Pi_0),\dots,\lambda\alpha.((\omega-\pi-\Pi_0-)^n),\dots$，折叠这一切的是 $\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_1)-\Pi_1=\omega-\pi-\Pi_1$。 然后，$\omega-\pi-\Pi_2,\omega-\pi-\Pi_\omega,\dots,(\omega+1)-\pi-(+1)-\Pi_0$。 然后 $(\omega+2)-\pi-(+1)-\Pi_0,\omega2-\pi-\Pi_0,\omega^2-\pi-\Pi_0,\omega^\omega-\pi-\Pi_0,\dots,\varepsilon_0-\pi-\Pi_0$。 接着 $\zeta_0-\pi-\Pi_0,\Omega-\pi-\Pi_0,M-\pi-\Pi_0,K-\pi-\Pi_0,\dots,\alpha(\alpha(0))$。 我们介绍了 $\alpha$ 函数并达到了 $\Sigma_1$ 的弱极限，这是好的。 接下来，我们记 $\alpha(x)=\lambda\alpha.x-\Pi_0$，这也是 $\Sigma_1$ 的弱极限被记作 $\alpha(\alpha(0))$ 的原因。 --- 坐稳，扶好，我们要冲刺了。 在 $\alpha(\alpha(0))$ 之后，下一个应当是 $\alpha(\alpha(0)+1)$。 $\lambda\alpha.(\alpha-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\alpha-\pi-\Pi_0 \operatorname{onto}\alpha-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\dots,\lambda\alpha.(\alpha-\pi-\Pi_1)-\Pi_1,\dots,\lambda\alpha.(\alpha+1-\pi-(+1)-\Pi_0)-\Pi_0=\alpha(\alpha(0)+1)$。 $\lambda\alpha.(\alpha+2-\pi-(+1)-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\alpha2-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\alpha^2-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\alpha^2-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\alpha^\alpha-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}-\pi-\Pi_0)-\Pi_0,\dots,\alpha(\alpha(1))$。省略号所省略掉的东西是一直套 $\alpha$ 条稳定链。 然后 $\alpha(\alpha(2)),\dots,\alpha(\alpha(\omega))$。这也可以记作 $\lambda\alpha.(\omega-\pi_1-\Pi_0)-\Pi_0$。 继续堆 $\alpha$，$\alpha(\alpha(\omega)+1),\alpha(\alpha(\omega+1)),\alpha(\alpha(\omega2)),\alpha(\alpha(\omega^2)),\alpha(\alpha(\omega^\omega)),\alpha(\alpha(\varepsilon_0)),\dots,\alpha(\alpha(\alpha(0)))$。 然后是 $\alpha^{(4)}(0),\alpha^{(5)}(0),\alpha^{(\omega)}(0),\alpha^{(\alpha(0))}(0),\dots$ 直到 $x\to\alpha^{(x)}(0)$ 的不动点。这是 $\operatorname{psd.}\alpha(1,0)$。怎么把 $\operatorname{psd.}$ 消掉已经演示过了，把不动点换成 $\alpha$ 点就行。 然后我们把 $\alpha$ 类比成 $\varphi$，直到它自己的极限，我们称其为，$\Pi_3[2]$。