基于欧拉公式的三角恒等式推导

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基于欧拉公式的三角恒等式推导

引入欧拉公式：

e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta

1.毕达哥拉斯三角恒等式推导

毕达哥拉斯三角恒等式可以记作如下形式：

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

我们由欧拉公式不难得出正弦、余弦函数的定义：

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

由此带入上式可得

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^2 + \left(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^2

展开有

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^2}{4} + \frac{(e^{i\theta} - e^{-i\theta})^2}{-4}

注意到：

(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^2 = e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} + 2 (e^{i\theta} - e^{-i\theta})^2 = e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} - 2

因此

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} + 2}{4} - \frac{e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1

证毕。

2.和角公式推导

由指数函数性质有：

e^{i(a+b)} = e^{ia} \cdot e^{ib}

展开

\cos(a+b) + i\sin(a+b) = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)

即

\cos(a+b) + i\sin(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b + i(\cos a\sin b + \sin a\cos b)

分别比较等式左右实部、虚部，得到：

\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \sin(a+b) = \cos a\sin b + \sin a\cos b

即为三角函数和角公式，同理可得三角函数差角公式。