【硬核】集合论 - 序数 - 第三章 - 反射序数

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这是这一系列的第三章，第二章在这。

首先需要介绍一下 \operatorname{pseudo.}x，他表示的是在 OCF 下，x 折叠的序数 y，例如 \operatorname{pseudo.}\Omega=\zeta_0，缩写是 \operatorname{psd.}\Omega=\zeta_0。

我们先定义集合 \Pi_0=\{1,2,3,4,5,6,7,\dots,\omega+1,\omega+2,\dots\}。

然后我们将取 \Pi_0 中的所有极限点，就可以得到 \Pi_1=\{\omega,\omega2,\omega3,\dots\}。

我们将其缩写为 1。

接下来我们需要介绍一些符号：

$x\th 1$ 表示 $1$ 中的第 $x$ 小值。 $1\operatorname{aft}x$ 表示 $1$ 中大于 $x$ 的最小值。 然后我们对 $1$ 再求一次极限点，$\Pi_1 \operatorname{onto} \Pi_1=\{\omega^2,\omega^22,\omega^23,\dots\}$，在这里，~~为了防止 `\operatorname{onto}` 占据大部分篇幅~~，我们将 $\operatorname{onto}$ 简写为 $-$，$\Pi_1 \operatorname{onto} \Pi_1$ 可以简写为 $1-1$。 然后重复作用 $1-1$，可以得到 $1-1-1$，$1-1-1-1$ 等等。 我们记 $(x-)^ny=x-x-x-x-x-\dots-x-y$，其中共有 $n$ 个 $-$。特别的，当 $x=y$，我们可以将 $y$ 省略。 另外，我们有时候会将 $\min$ 省略，$1-1=\min1-1=\omega^2$。 这样一直到 $(1-)^{\omega}=\omega^{\omega}$，由于 $\omega$ 就是 $\min1$，我们将其记作 $(1-)^{((1))}$。 然后再对指数进行迭代 $(1-)^{(1-)^{((1))}},(1-)^{(1-)^{(1-)^{((1))}}}$ 等等，最后达到了无穷层，我们按照 Veblen 不动点的形式来表示，最后达到了 $(1-)^{(1,0)}=\varepsilon_0$。 然后再按 Veblen-way 继续迭代，这个过程已经在 Veblen 那里描述过了。事实上，$(1-)^{(x)}=\varphi(x)$。 看到没有，反射序数略微出手就达到了 Veblen 的强度，前途无量啊！ --- 可是仅凭 $\Pi_1$ 最多最多只能达到 Veblen 的强度了。那么我们继续扩展，来看到我们的 $\Pi_2$。 $\Pi_2$ 是所有非递归序数的集合，$\{\Omega_1,\Omega_2,\dots,\Omega_{\omega+1},\dots\}$。 这里需要注意，$\Omega_\omega$ 不在 $\Pi_2$ 中，因为他是通过 $\Omega_x$ 递归得到的。 但是我们对 $\Pi_2$ 取极限点，得到 $\Pi_1\operatorname{onto}\Pi_2(1-2)$，他是 $\{\Omega_\omega,\Omega_{\omega2},\dots\}$。 然后可以再取一次 $\Pi_1$，得到 $(1-)^22=\Omega_{\omega^2}$（这里省略了 $\min$），然后 $(1-)^n2=\Omega_{\omega^n}$。 然后到了 $(1-)^{((1))}2=\Omega_{\omega^\omega}$，$(1-)^{((2))}2=\Omega_{\Omega}$，$(1-)^{(1,0)}2=\Omega_{\Omega_{\Omega_{\dots}}}$，这是 $x\to\Omega_x$ 的不动点。 然后还可以套娃到更牛的东西，不过我们不讨论。 以上所有序数都是通过递归方式得到的，不在 $2$ 中。那么 $2$ 和 $1-2$ 有没有交呢？ 幸运的是，有的。我们记 $2\ 1-2$ 为 $I$，其中空格表示 $\cap$。 我们在前面讨论了 $\operatorname{psd.}$，那么我们注意到，我们可以说 $\operatorname{psd.}I=(1-)^{(1,0)}2$，因为他们的 $\psi$ 相同。然后我们又有 $2\operatorname{aft}I=\Omega_{I+1}$。 之后我们将会省略括号，所有表达式从右到左。 我们有了 $\Omega_{I+1}$，未尝不能有 $\Omega_{I+\Omega},\Omega_{I2},\Omega_{I+\Omega_{I+1}},\Omega_{I+\Omega_{I+\Omega_{I+1}}}\dots$，这一过程的极限是 $\operatorname{psd.}I_2$。 然后我们对 $2\operatorname{aft}2\ 1-2$ 求容许点，得到 $2-1\ 2\operatorname{aft}2\ 1-2=I_2$。 接着我们还有 $I_3,I_4,\dots,I_\omega,\dots,I_I$。 然后我们有对 $x\to I_x$ 取不动点，得到的是 $\operatorname{psd.}I(1,0)$。 然后用 $2\ 1-$ 折叠 $(1-)^x$，即将不动点替换成容许点，就可以得到 $2\ 1-2\ 1-2=I(1,0)$。 现在我们得到了一个和 $\varphi$ 性状相似的 $I$，只不过，$\varphi$ 是不动点进制，而 $I$ 是容许点进制。 然后重走 Veblen 的老路，最后可以得到 $I(1@(1@(1@(1@\dots))))$，这是 $I$ 函数的极限。 --- 在一切的一切之上，有 Mahlo 序数 $M=2-2$。 然后我们有 $2\operatorname{aft}2-2=\Omega_{M+1},2\ 1-2\operatorname{aft}2-2=I_{M+1},(2\ 1-)^{(1,0)}2\operatorname{aft}2-2=I(1,0,M+1)$。 然后用 $2-2$ 折叠 $(2\ 1-)^x$，得到 $2\operatorname{nd}2-2=M_2$。 然后 $1-2-2=M_\omega,1-1-2-2=M_{\Omega},(1-)^{(2\ 1-2)}2-2=M_I,(1-)^{(2-2)}2-2=M_M,(1-)^{(1,0)}2-2=M_{M_{M_{M_\dots}}}=M-\varphi(1,0),1-(1-)^{(1,0)}2-2=M-\varphi(1,\omega)\dots$，然后还有 $2\ 1-2-2=M-I(1,0),1-2\ 1-2-2=M-I(1,\omega),1-1-2\ 1-2-2=M-I(1,\Omega),(2\ 1-)^{((2))}2-2=M-I(\Omega,0)\dots$，最后得到了 $2-2\ 1-2-2=M(1,0)$。 可以这么理解：$M-I(1,0)=\operatorname{psd.}M(1,0),M-\varphi(1,0)=\operatorname{psd.}\operatorname{psd.}M(1,0)$。 然后在 $M$ 之上，脚步跨的大一点，有 $2-2-2=N$，接着我们还会有 $2-2-2-2,(2-)^4,(2-)^\omega$，直到 $2-$ 的极限。 --- 在所有这些序数之上，我们还有 $\Pi_3$ 基数，以及对应的递归弱紧致基数 $K$，$3-$ 折叠了所有 $(2-)^x$。 我们在这里将会给出反射序数的展开规则（原理未知）： 1. 删掉所有的空格和 $-$，反转表达式，并在开头添加 $1$; 2. 找到最后一个数 $a_k$，找到这之前第一个比它晓得数 $a_i$； 3. 如果不存在这样的 $a_i$，在序列首添加一个 $a_k-1$； 4. 如果 $a_i=a_k-1$，执行展开 $\#_1,a_i,\#_2,a_k\to\#_1,a_i,\#_2,a_i,\#_2,a_i,\#_2,a_i,\#_2,a_i,\#_2,a_i\dots$； 5. 否则，执行展开 $\#_1,a_i,\#_2,a_k\to\#_1,a_i,\#_2,a_{k-1},a_i,\#_2,a_{k-1},a_i,\#_2,a_{k-1},a_i,\#_2,a_{k-1},a_i,\#_2,a_{k-1},a_i\dots$； 6. 将表达式反转，删去最后的 $1$，设相邻两项为 $a,b$。 7. 若 $a>b$，在中间添加空格，否则在中间添加 $-$。 然后就可以得到更大的反射序数，$\Pi_4,\Pi_5,\dots,\operatorname{psd.}\Pi_\omega$。 然后又有 $\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega,\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega,\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega-\operatorname{psd.}\Pi_\omega,\dots,\Pi_\omega,\Pi_\Omega,\Pi_{\Pi_{\Pi_{\Pi_0}}},\Pi_{\Pi_{\Pi_{\Pi_\dots}}}$。 事实上，角标还能扩展，这将使得 $\Pi$ 和 $\varphi$ 也有相似的行为，不过这不重要。我们将要回到我们熟悉的 OCF 了。 --- 我们定义 $\psi_I(0)$ 为 $\Omega$ 的下标不动点。 定义多元 $\Phi$ 函数，把 $\varphi$ 的定义从 $\omega$ 的指数不动点改成 $\Omega$ 的下标不动点。 那么 $\psi_I$ 和 $\Phi$ 的类比就像是 $\psi$ 和 $\varphi$ 的类比，为了节省篇幅，我们就不加以解释了。 我们的内层也可以引入 $I$，$\psi_I(I)=\Phi(2,0)$ 等，这使得我们可以继续类比下去。 由于 $\psi_I$ 所代表的序数是带 $\Omega$ 的，所以我们再把它到 $\psi$ 里头套。 容易看出 $\psi(\psi_I(0))=EBO$。 然后我们又有了一系列序数，即把刚才得到的序数放进 $\psi$ 里。 最后有 $\psi(\psi_I(0)^{\psi_I(0)^{\psi_I(0)^{\psi_I(0)^\dots}}})=\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))$，然后继续指数塔，嵌套到极限了时候再嵌套一下 $\Omega$ 下标，最后的最后，真的到极限了之后才能达到 $\psi(\psi_I(1))$。 继续走我们走过的路，直奔 $\psi(\psi_I(\omega)),\psi(\psi_I(\Omega))$，最后得到的是 $\psi(\psi_I(I))$。我们定义 $\psi(I)=\psi(\psi_I(I))$。 然后我们就有 $\psi(I^2),\psi(I^I),\psi(I\uparrow\uparrow\omega)=\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))$，然后还可以增大到 $\psi(\Omega_{I+1})$，又叫 $JO$。 然后还能增大到 $\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\dots_{I+1}}}})$，这等于 $\psi(\psi(I_2(0)))$。 继续套娃，继续套娃，$\psi(\psi_{I_2}(I))=\psi(\psi_{I_2}(\psi_I(\psi_{I_2}(\dots(0)))))$，$\psi(I_2)=\psi(\psi_{I_2}(\psi_{I_2}(\psi_{I_2}(\dots(0)))))$。 继续，$\psi(I_3),\psi(I_{\omega}),\psi(I_\Omega),\psi(I_I),\psi(I_{I_I})$。 然后 $\psi(I(1,0)),\psi(I(1@\omega)),\psi(I(1@(1,0)))$，这是含 $I$ OCF 的极限，当然还能类似 $\varphi$ 的扩展，不过意义不大。 --- 我们将 $\psi_M(x)$ 上面的 $\psi_I(x)$，并将 $\Phi$ 类比成 $I$ 继续套娃。初始值 $\psi_M(0)=\varepsilon_0$。 值得一提的是，中间有一个点 $\psi(\varepsilon_{M+1})=SRO$。 最后依照上述，我们将会达到 $\psi(M(1@(1,0)))$。 --- 然后将 $N,2-2-2-2,(2-)^4,(2-)^5,\dots,(2-)^\omega$ 折叠，然后再折叠 $(2-)^{(1,0)},(2-)^{(1,0,0)},\dots,(2-)^{(1@\omega)},\dots$ 最后达到了 $(2-)^x$ 的极限。 --- 在这之上，我们的 $K$ 就会派上用场，折叠，$\psi(\varepsilon_{K+1})$ 被叫做 $RO$，然后 $\psi(\varepsilon_{\Pi_4+1})$ 被叫做 $DO$，最后 $\psi(\varepsilon_{\Pi_\omega+1})$ 被叫做 $SSO$。 我们可以套到 $\Pi$ 的下标不动点，我们将 $\psi(\Pi_{\Pi_{\Pi_{\Pi_\dots}}})$ 称作 $LSO$，用稳定序数表示为 $\psi(\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_0)$。