【硬核】集合论 - 序数 - 第六章 - 中括号稳定

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这是这一系列的第六章，第五章在这。

我们考虑如下的集合：\{\beta\in\alpha\mid\beta\prec_1\alpha\}，这是所有稳定到 \alpha 序数的序数的集合。

那么如果 \alpha\in\Pi_n[2]，那么 \alpha\in n-\{\beta\in\alpha\mid\beta\prec_1\alpha\}。

在 [] 反射中，\Pi_0,\Pi_1,\Pi_2 等价，所以为了使得序数看起来变得更大，我们将最小的中括号反射序数记作 \Pi_2[2]，这也是最小的 \text{Nonprojectable} 序数（以下简称 \text{Np}）。

--- 我们直接一步到位 $\Pi_3[2]$。 我们接下来会将 $\Pi_a[b]$ 记作 $a_b$。$\Pi_3[2]$ 就会被写作 $3_2$。 接着再爬稳定塔： $\lambda\alpha.3_2-\Pi_2,\lambda\alpha.(3_2+1)-\Pi_0,\lambda\alpha.(3_22)-\Pi_0,\lambda\alpha.(2\operatorname{nd}3_2)-\Pi_2,\lambda\alpha.(1-3_2)-\Pi_0,\lambda\alpha.(\omega-3_2)-\Pi_\omega,\dots$，这样的话，一段的 $3_2$ 便极限了。 然后我们已经可以知道怎么搞——加入多段稳定链，直到稳定链也用完了，就可以得到 $3_2\ 0-3_2$。 然后 $3_2\ 1-3_2,3_2\ 2-3_2,3_2\ 3-3_2,3_2\ 4-3_2$。 这个 $3_2\ 4-3_2$ 可以直接写成 $3_2\ 4$，这里出现了“序数吸收”现象，比如说 $\omega=1+\omega,\omega\omega^\omega=\omega^\omega,\omega^{\varepsilon_0}=\varepsilon_0$ 就是“序数吸收”。 这样可以到 $3_2\ (1)$，即 $3_2\ \omega$，接着 $3_2\ (+1)- \Pi_0,3_2\ \omega-\pi-\Pi_0,3_2\ \lambda\alpha.3_2-\Pi_2,\dots$，然后就是又来多条稳定链，直到 $\omega$ 条稳定链的 $(0-3)_2$。 注意，$(0-3)_2\not=0-3_2$。 然后就是，如果是第 $\omega^k$ 条稳定链，那么序数就是 $((0-)^k-3)_2$。 然后仿照第 $3$ 章中的 $I$，我们设一个序数 $(3\ 0-3)_2$。 因为这个序数太厉害了，所以我认为我们应该写出他的全名：$\Pi_{\Pi_3\cap\Pi_0\operatorname{onto}\Pi_3}[2]$，注意这里的下标不是 $\min$ 的缩写，而是实实在在的集合，这折叠了 $(0-)^{(\dots)}[2]$。 并且我们有，$\Pi_x-\operatorname{stable}$ 折叠 $(x-1-)^{(\dots)}[2]$。 然后就可以继续扩展了，$(0-3\ 0-3)_2,(0-0-3\ 0-3)_2,(3\ 0-3\ 0-3)_2,(3-3)_2,(3-3-3)_2,\dots,4_2$。 --- 我们已经到达了 $4_2$，自然就有 $5_2$、$6_2$、$7_2$，直到 $\operatorname{psd.}\omega_2$。 我们想把 $\operatorname{psd.}$ 摘掉该怎么做呢？ 其实这是很一样的，再按着上述规则迭代一次，就是 $\omega_2$。 由于 $\omega_2$ 会和之后的一些东西引起歧义，我们会写它的全称——$\Pi_\omega[2]$，或许也会将其记作 $\omega_{[2]}$（其实之前也应该这么叫，不过由于懒癌等原因省略了 $[]$，结果发现到 $\omega$ 这里就歧义了）。 --- $[2]$ 反射的使命完成了，接下来是 $[2]$ 稳定！ 和 $[1]$ 稳定一样，我们用 $\Pi_\omega$ 代指 $\operatorname{psd.}\Pi_\omega$，而 $\Pi_{\omega+1}$ 代指 $\Pi_\omega$。 和 $[1]$ 稳定一样，我们记 $\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0[2]=\Pi_\omega$，再强调一遍，这里是有 $\operatorname{psd.}$ 的。 请注意区分 $[1]$ 上和 $[2]$ 上的 $\operatorname{onto}$，$0-\omega_{[2]}\not=(0-\omega)_{[2]}$。 然后注意到除了最后加了个 $[2]$，和 $[1]$ 稳定是没有区别的，所以直接快进到 $(\lambda\alpha.(\omega-\pi-\Pi_0)-\Pi_0)[2]$。 然后是 $(\lambda\alpha.(\alpha-\pi-\Pi_0)-\Pi_0)[2],(\lambda\alpha.\alpha(1,0)-\Pi_0)[2]$。 然后内层开始出现 $[2]$ 反射序数，$(\lambda\alpha.\Pi_3[2]-\Pi_0)[2]$，然后多条稳定链套上 $(\lambda\alpha.((\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_0)[2]))[2]$，然后再上稳定链，就是二阶的 $\omega-\pi_{[2]}-\Pi_0$。 再爬塔到顶端，则是 $\operatorname{psd.}\Pi_0[3]$，我们也到达了 $[3]$ 领域，当然，还需要摘掉 $\operatorname{psd.}$。 --- $\omega-\pi_{[2]}-\Pi_0[2]=\lambda\alpha.(\omega-\pi_{[2]}-\Pi_0)-\Pi_0$，这是三个 $\operatorname{psd.}$。 然后先摘掉 $[1]$ 上的 $\operatorname{psd.}$，爬一层塔，将其变成 $\lambda\alpha.(\lambda\beta-(\omega-\pi_{[2]}-\Pi_0)-\Pi_1)-\Pi_1$。 然后摘掉 $[2]$ 上的 $\operatorname{psd.}$，进行稳定链的堆叠，变成 $(\lambda\alpha.(\omega-\pi_{[2]}-\Pi_0)-\Pi_1)[2]$。 再摘掉 $[3]$ 上的 $\operatorname{psd.}$，再次堆稳定链，直到 $\omega-\pi_{[2]}-\Pi_1$，这是真正的 $\Pi_0[3]$ 了。 --- 接着就 $\Pi_0[4],\Pi_0[5],\dots,\operatorname{psd.}\Pi_0[\omega]$。 对他进行一阶稳定、……、$\omega$ 阶稳定，这就是摘掉了一个 $\operatorname{psd.}$。 然后再将以上过程重复 $\omega$ 次，就得到了真正的 $\Pi_0[\omega]$。 --- $\Pi_0[\omega]$ 也是一条稳定链的底端，我们可以继续迭代往后增加。 $0_\omega,0_\omega\ 1-0_\omega,0_\omega\ 3_2,\dots,\operatorname{psd.}(0-0)_\omega$，然后再用同样的方法摘掉 $\operatorname{psd.}$。 这看出 $[\omega]$ 也能同样方法套上去，于是来到了 $[\omega]$ 稳定，$\lambda\alpha.\alpha+1-\Pi_1[\omega]$。 稳定结束就是 $\omega-\pi-\Pi_1[\omega]$，接着来到了 $\Pi_0[\omega+1]$。 接着，$\Pi_0[\omega2],\Pi_0[\omega^2],\Pi_0[\omega^\omega],\Pi_0[\varepsilon_0],\Pi_0[\Omega]$。 然后就是 $\lambda\alpha.\Pi_0[\alpha]-\Pi_1$，然后再迭代 $\alpha$，到二段稳定链，然后是三段，四段…… 然后内层套 $\alpha\operatorname{aft}\Pi$，然后再套 $\alpha$ 函数，最后套到 $\Pi$。 最后的最后，$\lambda\alpha.(\lambda\beta.\Pi_0[\beta]-\Pi_1)-\Pi_1$ 终结了中括号稳定。