关于多元 Lagrange 反演的解析证明

飞雨烟雁 · 2025-04-30 15:55:20 · 算法·理论

因为害怕组合意义所以全点分析力了。

记号说明：

1. 所有向量以及向量值函数均用粗体字母表示；

2. 对于整数 k，\mathbf k 代表 (k,k,\cdots,k)；

3. 对于向量值函数 \mathbf g=(g_1,\cdots,g_n) 和向量 \mathbf n=(n_1,\cdots,n_n)，定义 \mathbf g^{\mathbf n}=\prod_{k=1}^n g_k^{n_k}。这里的 \mathbf n,n_i,n 是完全不同的定义，分别代表向量、向量分量、变元个数；

4. 对于向量 \mathbf n=(n_1,\cdots,n_n)，定义 [\mathbf x^\mathbf n]=[x_1^{n_1}\cdots x_n^{n_n}]。

回顾一元 Lagrange 反演的解析证明

定理 1.（另类 Lagrange 反演）对于形式幂级数 f,g\in\mathbb C[[x]]，以及形式洛朗级数 h\in\mathbb C((x))，若 f(0)=g(0)=0,f'(0)\neq 0，且 f(g(x))=x，则对于 n\in\mathbb Z，有

证明. 取充分大的正整数 N，定义

由于 \tilde f'(0)=f'(0)\neq 0，所以存在 \delta>0 和解析函数 \tilde g，使得 \forall z\in \Delta(0,\delta),\tilde f( \tilde g(z))=z。这表明 \forall |z|=\delta/2,\tilde f(z)\neq 0，那么根据留数定理，有

当 N 充分大时，我们可以保证上式左右两端与 (1) 式左右两端一致，此时定理 1 得证。\Box{}

上述证明与常见的解析证明有两点不同。一是我们证明的是另类 Lagrange 反演，而非更为常见的 Lagrange 反演，这是因为另类 Lagrange 反演的证明与多元 Lagrange 反演的证明更相似，便于后续扩展。二是我们采取了截断方法，这是为了扩展解析证明的适用范围，使得像 f(x)=\sum _ {k\ge 0}k!x^k 此类收敛半径为 0 的级数也能适用此定理。

多元向量值形式幂级数的结构

多元形式幂级数是指形如

的幂级数 f，我们记为 f\in \mathbb C[[x_1,\cdots,x_n]]。

多元向量值形式幂级数指的是一列行向量 (f_1,f_2,\cdots,f_m)，其中 \forall i=1,2,\cdots,m,f_i\in\mathbb C[[x_1,\cdots,x_n]]。记为 (f_1,f_2,\cdots,f_m)\in \mathbb C^m[[x_1,\cdots,x_n]]。

我们这里只讨论 n=m 时的多元向量值形式幂级数，此时有 n 个 n 元形式幂级数，我们记 \mathbf f=(f_1,\cdots,f_n), \mathbf g=(g_1,\cdots,g_n)，定义其复合为

复合运算的单位元为 \textbf{id}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)。

我们关心的是怎样的 \mathbf f 具有复合逆。

定义 2. 若 \mathbf f=(f_1,\cdots,f_n) 满足 \forall 1\le i\le n,x_i\mid f_i,(f_i/x_i)(\mathbf 0)\neq 0，则称 \mathbf f 是正则的。

定理 3. 若 \mathbf f=(f_1,\cdots,f_n) 是正则的，则存在唯一的 \mathbf g=(g_1,\cdots,g_n)，使得 \mathbf g 正则，且 \mathbf f\circ\mathbf g=\mathbf g\circ\mathbf f=\mathbf {id}。

证明. 先证左逆的存在唯一性，然后利用复合的结合律证明左逆和右逆相同，具体细节留给读者补充。\Box

性质 4. 正则函数 \mathbf f 的 Jacobi 矩阵在 \mathbf 0 处可逆。

证明. 直接计算可知 \det J(\mathbf f)\big|_ {\mathbf x=\mathbf 0}=\prod_{i=1}^n(f_i/x_i)(\mathbf 0)\neq 0。\Box

最后，类似地定义多元形式洛朗级数为形如

的级数 h，其中 N 是整数。记为 h\in\mathbb C((x_1,\cdots,x_n))。

定义上述多元级数之间的乘（除）法为逐项乘（除）法。

多元 Lagrange 反演的解析证明

这里我们先给出一种比较清晰但不严格的证明方法，随后做一些修改，使其更严格。

定理 5.（多元 Lagrange 反演 I）对于 \mathbf f,\mathbf g\in\mathbb C^n[[x_1,\cdots,x_n]]，以及 h\in\mathbb C((x_1,\cdots,x_n))，若 \mathbf f,\mathbf g 均正则，且 \mathbf f\circ\mathbf g=\mathbf{id}，则对于 \mathbf n\in\mathbb Z^n，有

证明 (Easy Ver.). 记 S^1=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}，根据多元留数定理（即对每个变元都用一次留数定理），有

作换元 \mathbf x=\mathbf g(\mathbf y)，有：

随后逐个变元逆用留数定理即得：

然而这个定理存在很多不严格之处，大致有以下四个问题：

2. 运用多元留数定理后能否直接累次积分化重积分；

3. 如何保证 \mathbb C^n 上积分换元的合法性；

4. 积分区域 \mathbf f((S_1)^n) 能否逆用留数定理。

下面我们来依次解决这四个问题。这里只给大致思路，不做详细阐述。

第一个问题用前面说的截断方法就能解决。下面我们都假设 \mathbf f 是截断过后的幂级数（不然每次都要打 \tilde \mathbf f 很麻烦），并设 \mathbf g 是截断后的 \mathbf f 对应的反函数（因为 \det J(\mathbf f)\neq 0，这样的 \mathbf g 存在，且这个 \mathbf g 与截断前 \mathbf f 的反函数的低次项完全一致）。那么存在 \mathbf 0 的某个领域 U，使得当 \mathbf y\in U 时，\mathbf f\circ \mathbf g(\mathbf y)=\mathbf y。

对于第二个问题，记 C_{r}=\{z\in\mathbb C:|z|=r\}，则存在 r>0 使得当 \mathbf y\in (C_r)^n 时，\mathbf f(\mathbf y) 每个分量都不为 0（由正则性保证）。此时每个分量的模长都有正下界、以及上界。那么 h\circ\mathbf f 在 (C_r)^n 上就是解析且有界的了，故可以累次积分化重积分。

对于第三个问题，注意证明中的积分可以视为在 \mathbb R^{2n} 上对 n 维流形积分，利用参数变换公式和拟微分中值定理可以证明正确性。

第四个问题则涉及到 \mathbf f((C_r)^n) 的拓扑性质。根据正则性可以证明，当 r 足够小时，固定 z_1,\cdots,z_n 中的任意 n-1 个数，假设 z_k 未被固定，则 g(z_k):=f(z_1,\cdots,z_n),z_i\in C_r 是一条逆时针围绕原点的简单曲线，因此可以逆用留数定理。

这样就可以严格说明多元 Lagrange 反演是成立的了。

多元 Lagrange 反演的其他形式

一般我们更常用的是下面这个形式。

定理 6.（多元 Lagrange 反演 II）对于 \mathbf f,\mathbf g\in\mathbb C^n[[x_1,\cdots,x_n]]，以及 h\in\mathbb C((x_1,\cdots,x_n))，若 \forall 1\le i\le n,f_i=x_i g_i(\mathbf f)，则对于 \mathbf n\in\mathbb Z^n，有

证明. 定义 \mathbf g_0=(x_1/g_1,\cdots,x_n/g_n)，然后对 \mathbf f,\mathbf g_0 用多元 Lagrange 反演 I 即证。\Box

事实上，当 h 是多元形式幂级数时，我们有比多元 Lagrange 反演更强的结果。

定理 7.（Abhyankar-Gurjar 反演公式）记 \mathbf g=(g_1,\cdots,g_n)，若 g_i=x_i-h_i，其中 h_i 的最低次数大于等于 2，则存在 \mathbf f=(f_1,\cdots,f_n) 使得 \mathbf f\circ\mathbf g=\mathbf {id}，且任给多元形式幂级数 u，有

也许后面我会写一篇 Blog 专门说说这个公式的证明。

思考题：试求二元形式幂级数 f(x,y)，使得 f(0,0)=0,f(x,y)-[f(y,x)]^2=x。