多项式模板

Xudongning · 2025-04-25 21:00:52 · 科技·工程

代码

这是一个高性能的多项式运算库，基于快速数论变换（NTT）实现，支持模数运算和各种多项式操作。下面我将详细说明其主要函数的功能和实现方法。

核心数据结构

1. Z_32<mod> 类

• 功能：模数运算类，处理 32 位模数运算
• 实现方法：
  • 使用 Montgomery 约简算法进行高效模乘
  • 预计算模数的乘法逆元
  • 支持加减乘除、幂运算等基本操作
  • 包含编译期计算的常量表达式

    2. Z_8x32<mod> 类（AVX2优化）

• 功能：使用 AVX2 指令集进行 8 个并行模数运算
• 实现方法：
  • 利用__m256i类型存储 8 个 32 位整数
  • 实现向量化的加减乘运算
  • 支持快速傅里叶变换（FFT）相关操作

    3. Poly_32<mod, g, LIM> 类

• 功能：多项式运算主类
• 实现方法：
  • 使用 SIMD 联合体存储多项式系数
  • 预计算单位根和蝴蝶变换表
  • 提供各种多项式运算接口

    基础运算函数

    1. DIF 和 DIT

• 功能：快速数论变换的正向（DIF）和逆向（DIT）变换
• 实现方法：
  • 使用蝴蝶操作分解多项式
  • 支持 AVX2 向量化优化
  • 分层处理不同大小的数据块

2. 基本算术运算

• add_n：多项式加法
• sub_n：多项式减法
• dot_n：逐点乘法（Hadamard 积）
• mul_c_n：多项式与常数乘法
• div_2_n：多项式除以 2

高级多项式操作

1. 多项式乘法 conv_n 和 mul_n

• 功能：计算两个多项式的乘积
• 实现方法：
  • 使用 NTT 转换到频域后相乘
  • 自动处理零填充和结果截断
  • 支持原地和非原地操作

2. 多项式求逆 inv_n

• 功能：计算多项式模意义下的乘法逆元
• 实现方法：
  • 使用牛顿迭代法
  • 分层处理不同大小的数据块
  • 结合 NTT 加速迭代过程

3. 多项式开方 sqrt_n

• 功能：计算多项式模意义下的平方根
• 实现方法：
  • 基于牛顿迭代法
  • 使用多项式求逆作为子过程
  • 处理边界条件和特殊情况

4. 指数和对数函数

• exp_n：多项式指数函数
• log_n：多项式对数函数
• 实现方法：
  • 基于泰勒展开和积分、微分关系
  • 使用牛顿迭代优化收敛速度
  • 结合 NTT 加速计算

5. 三角函数

• sin_n：多项式正弦函数
• cos_n：多项式余弦函数
• tan_n：多项式正切函数
• 实现方法：
  • 通过欧拉公式转换为指数函数
  • 使用复数单位根旋转
  • 结合已有的 exp 函数实现

特殊操作

1. 多项式复合 comp_n

• 功能：多项式复合
• 实现方法：
  • 使用分治策略
  • 结合多点求值和插值
  • 优化中间结果的存储和计算

2. 多点求值 multipoint_n

• 功能：在多个点处求多项式值
• 实现方法：
  • 构建乘积树
  • 使用分治策略减少计算量
  • 结合 NTT 优化中间结果

3. 插值 interpolate_n

• 功能：根据给定点集构造插值多项式
• 实现方法：
  • 使用拉格朗日插值公式
  • 构建和遍历乘积树
  • 结合多项式求逆加速计算

实现特点

1. 高性能优化：

   • 使用 AVX2 指令集进行向量化
   • 精心设计的内存访问模式
   • 循环展开和指令级并行

2. 模块化设计：

   • 模板化模数参数
   • 分层函数结构
   • 清晰的接口设计

3. 数学优化：

   • 快速数论变换代替朴素乘法
   • 牛顿迭代法加速收敛
   • 预计算和查表减少重复计算

4. 异常处理：

   • 对非法输入进行检测
   • 提供清晰的错误信息
   • 保证边界条件正确处理