【硬核】集合论 - 序数 - 第十六章 - Dω2MN

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ω2MN 是 ωMN 的一个扩展，也由 Hypcos 提出。目前有两种口味，一种是 Defective ω*2 Mountain Notation，还有一种是 Astral ω*2 Mountain Notation。

至于哪个强，我倾向于后者，但是：

MM()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2) 是我。

这篇文章主要讲的是前者。

TBMS 和 ω+1 row Y 都是 BMS 的扩展，前者有 \Omega 行结构但比不过后者的 \omega+1 行结构（事实上远不如，前者是 Y(1,3,4,2,5,8,10) 而后者是 Y(1,3,9)），这说明 Y 有一些 BMS 没有的提升。

事实上，在 TBMS 中，极限序数行只意味着最右列会变为极限序数下的大行标，而非最右列没有行标的增长。而在 Y 中，最右列出现极限序数行时，不论是最右列还是非最右列，都存在行标的增加。Y 的这种现象称作 eruption。

事实上，TωMN 之于 ωMN 正像是 TBMS 之于 BMS，是一种很弱的扩展。我们可以引入一些更强的扩展，这就是我们的 ω2MN。

在 Dω2MN 中，最右列出现极限序数行时，不论是最右列还是非最右列，都存在分隔符的增加。分隔符的增加意味着同列相邻元素的距离变远了，“拉伸”因而得名。

Dω2MN 中，分隔符以 0~1 个分号（“;”）和若干个逗号（“,”）构成，分隔符的值是指 \omega a+b，其中 a 是分号个数而 b 是逗号个数。

父元、祖先、右上角、后代、根元素、根列元素、参考元素、复制部分、复制宽度、magma 元素的定义和 ωMN 相同。

每一个根列元素的拉伸阈定义如下：

如果其下一个根列元素的分隔符不是 ;，那么没有拉伸阈。

如果这个根列元素的分隔符中有 ;（即为 ;、;,、;,, 等），那么拉伸阈就是 ,。

否则拉伸阈是这个根列元素分隔符末尾加上一个逗号后的分隔符。

每一个根列元素的拉伸量定义如下：

如果没有拉伸阈、参考元素只有一个、最上方参考元素的分隔符中含有 ; 或拉伸阈比最上方参考元素的分隔符还要大，拉伸量为 0。

否则拉伸量是最上方参考元素的分隔符和拉伸阈的值差加一。

然后那就可以定义减一操作了。

  1. 设右上角的分隔符值是 M。右上角沿左腿向左下走一步，到达的元素具有分隔符 A、行标 \alpha；右上角沿右腿向下一格，到达的元素具有分隔符 B、行标 \beta。若 M=\omega 则跳至第 4 步。
  2. 若 M=1 则直接删掉右上角然后跳到第 6 步。
  3. 如果 \alpha+M-1\le\beta 则删掉右上角，否则将右上角分隔符值减一，即删掉最后一个逗号，跳到第六步。
  4. 如果 A 中含有 ; 则令重数值为 1，否则重数值为 A 的值加一。
  5. 如果 \alpha<\beta 且 B 的值大于等于重数值那么删去右上角，否则把右上角的分隔符值改为重数值。
  6. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

可以看到，如果不是极限分隔符那么规则和 ωMN 是一样的。

减一操作结束之后，我们开始展开。

对于一个矩阵进行 \omega 次延伸，每次流程如下：

首先确定右上角、根列元素、复制部分、复制宽度、magma元素。

然后做减一操作。

然后确定参考元素、拉伸阈、拉伸量。

注意减一操作在确定参考元素、拉伸阈、拉伸量之前。

然后，从左到右逐列地把复制部分的元素（称为源元素）复制到右边的新增列中（目标元素）。

对于每一个“源元素列”的复制，从下到上操作列中元素。第 0 行的元素需要操作，但它不会作为源元素。最上端的元素不需操作，但它会作为源元素。

对于一个被操作的元素 a，沿右腿向上一格，到达的元素 x 是待复制的源元素。

如果 a 不是 magma 元素，那么 x 只能复制成一个目标元素。

如果 x 的值小于根列的列标，那么目标元素的值与 x 相同。

如果 x 的值大于等于根列的列标，那么目标元素的值等于 x 的值加上复制宽度。

如果 x 的分隔符大于等于其对应行标下一个根元素的分隔符或小于拉伸阈或没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与 x 相同。

否则，目标元素的分隔符是“x 的分隔符后面添加拉伸量重逗号”。

可以看到前两条规则和 ωMN 相同，对于后两条规则，出现了每个复制元素都有的分隔符增长，这就是我们开头提到的和简单的 TωMN 不同的地方，这也是一种 eruption。

如果 a 是 magma 元素，那么 x 可以复制成多个目标元素。具体的，找到 a 所对应的根列元素，其对应的每个参考元素都会产生一个目标元素。

任何情况下，目标元素的值等于 x 的值加上复制宽度。

对于不是最上端的参考元素，目标元素的分隔符为参考元素沿右腿向上一格后所得到的元素的分隔符。

对于最上端的参考元素，分隔符确定方式如下：

如果 x 的分隔符大于等于其对应行标下一个根元素分隔符或小于拉伸阈，或者没有拉伸阈，则目标元素的分隔符与x相同。

否则，目标元素的分隔符是“x 的分隔符后面添加拉伸量重逗号”。

这里最上端的参考元素的分隔符确定方式和非 magma 元素一样，其它规则同样和 ωMN 一样。

以下例子中，标红为根元素。

以 ()(;1)(,2;1)(,3,3)(\color{red},1\color{a})(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7;5) 为例，第一次进行减一操作后，最后一个分隔符是 ;，需要实行极限分隔符规则，得到 ()(;1)(,2;1)(,3,3)(\color{red},1\color{a})(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7,,5)

此时拉伸阈为 ,,，拉伸量为 1。

可以得到 ()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7\color{red},,5\color{a})(,8,,8,8,,8;8)(,9,,9,9,,9,,,9;8)(,10,,10,10,,10,,,10,10;8)。

再次减一得到 ()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7\color{red},,5\color{a})(,8,,8,8,,8;8)(,9,,9,9,,9,,,9;8)(,10,,10,10,,10,,,10,10,,,8)。

此时拉伸阈和拉伸量都没有。

可以得到 ()(;1)(,2;1)(,3,3)(,1)(,5;5)(,6,,6;5)(,7,,7,7\color{red},,5\color{a})(,8,,8,8,,8;8)(,9,,9,9,,9,,,9;8)(,10,,10,10,,10,,,10,10,,,8)(,11,,11,11,,11,,,11,11,,,11;11)(,12,,12,12,,12,,,12,12,,,12,,,,12;11)(,13,,13,13,,13,,,13,13,,,13,,,,13,13,,,,11)。

现在右上角元素分隔符不是逗号了，可以按 ωMN 方式展开了。

本篇内容结束。