【硬核】集合论 - 序数 - 第十五章 - MMS

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这是这一系列的第十五章，第十四章在这。

Mutant Matrix System 是一种 Aarex 在 2023 年提出（MM1），Gomen（MM2）、Hypcos（MM3）、ProjectCF（MM4）试图改善的一个序数记号，现在普遍使用的是由 Hypcos 在 2024 年提出的 MM3（MM1 和 MM2 被发现不良了，MM4 强度弱于 MM3），接下来，我将介绍一下它的规则。

感谢 QQ 用户 SuzukaFox（也即先前提到的知乎用户 Suzuka梅天狸）对本篇的帮助。

请注意：在 MMS 中，没有 MMS 的 PSSO（BO）/TSSO 这一说，因为两项序列可能展开后就变成了三项、四项、五项，但是确实有 MPSO/MTSO/MQSO，分别代表 MM()(1,1,1)/MM()(1,1,1,1)/MM()(1,1,1,1,1)。

以下表述中，左方元素比右方元素列标小，上方元素比下方元素行标小。

表观行标就是它是一列中第几个元素。

内在行标定义如下：

若表观行标为 1 则内在行标为 1；

否则找到它上方最近不等于这个元素的元素，设它们的的表观行标差是 d，则内在行标差就是 \omega^{d-1}。

定义待定父元如下：

若内在行标为 1，则待定父元就是它向左一格；

否则找到它上方元素的父元所在列，待定父元是这列中内在行标小于此元素且值大于等于此元素值减一的最靠下的元素。

父元是待定父元、待定父元的待定父元……中第一个等于此元素值减一的元素。

祖先元是自身、父元、父元的父元……的集合。

后代元素是祖先元素的逆运算。

右下角元素为最右列最靠下的非零元素。

右下值为右下角元素的值。

待定根元素定义如下：

从右下角元素开始进行如下操作直到元素行标为 0：

  1. 找到最近的值等于右下值减一的目前元素祖先项，并令其为待定根元素。
  2. 将目前元素向上移动一格。

请注意由于祖先元素包含自身，所以很有可能一列有多个待定根元素，这点很重要。

定义提取序列为如下序列：将每一列的待定根元素数目列出来变成一个序列，将此序列所有 0 去掉，再在最左边加一个 1，就是提取序列。

根元素为提取序列按照 PrSS 规则的根元素向右一格所对应的列中最靠上的待定根元素。如果提取序列最后一位是 1，那么根元素就是最靠右的那个待定根元素。

减一操作是把根元素及其下方的所有元素复制到最右列，列标与内在行标平移，使得根元素恰好复制到右下角元素的位置，这是展开的第一步。

根列元素定义为根元素上方（含）的所有元素。

一个根列元素的 magma 元素定义为从这个根列元素出发，所有内在行标与其相等的后代元素。

magma 元素定义为所有根列元素的 magma 元素的集合。

一个根列元素的参考元素是最右列中所有内在行标大于等于这个根列元素并小于下一格根列元素的元素。

延伸操作是将减一之前的表达式中，根列右方（不含）的元素一列一列地复制出来。每一列从上到下复制。一个源元素复制时可能有值的提升、行标的提升。所有提升由本列最近一次经过的 magma 元素，以及它对应的根列元素对应的最下参考元素，二者决定。magma 元素复制时可能产生多个复制品。它对应的根列元素对应的参考元素可能有多个，每个产生一个复制品。

这就是 MM3 完整的规则。关于 MM3 有以下的分析（左为 MM3，右为 ω-Y）：

(1,3)=()(1,1) (1,3,2)=()(1,1)(1) (1,3,2,5)=()(1,1)(1)(2,1,1) (1,3,3)=()(1,1)(1,1) (1,3,4)=()(1,1)(2) (1,3,4,3)=()(1,1)(2)(1,1) (1,3,5)=()(1,1)(2,1) (1,3,6)=()(1,1)(2,1)(3,2) (1,3,7)=()(1,1)(2,1,1) (1,3,8)=()(1,1)(2,2) (1,3,9)=()(1,1)(2,2,1)

其实在这中间出现了一点规则漏洞导致狸只扽到了这中间的某个值，不过我们考虑直接跳过之。

(1,3,10)=()(1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1) (1,4)=()(1,1)(2,2,1,1) (1,4,14,15)=()(1,1)(2,2,1,1)(3)

MM3 有一个叫做 3322 提升的东西，它指的是 MM3 在 MM()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2) 处的提升，这个提升也是我的现 QQ 名，在这里 MMS 的强度大幅增强，大概率使得 MPSO>MHO，但是现在这方面的分析不足。