伽罗瓦理论初探：多项式方程根式可解的探索

warzone · 2025-03-10 17:40:56 · 算法·理论

前置芝士：

1. 域论初步
2. 分圆多项式与分圆域

用到的一部分群论符号：

伽罗瓦群与伽罗瓦对应

对于域 K，K 的所有自同构（映射）显然构成 K 上的置换群，
称为 K 的 自同构群，记为 \operatorname{Aut}(K)。

在自同构群的基础上，我们定义域扩张 K/F 的 伽罗瓦群

即，域 K 的所有保持 F 中元素不变的自同构组成的群。
显然，因为自同构总是将单位元映射到单位元，
设 K 的素子域为 P，则必有 \operatorname{Aut}(K)=\operatorname{Aut}(K/P)。

求证：对于有限维扩张 K/F，|\operatorname{Aut}(K/F)|\le[K:F]
证明：K/F 是有限生成的代数扩张，故设 K=F(a_1,a_2,\cdots,a_n) 。

$\qquad$ 便唯一确定了整个 $\sigma$。又设 $$F_k=F(a_1,a_2,\cdots,a_k)\quad(k\in[0,n]\cap\N)$$ $\qquad$ 并设 $a_k$ 在 $F_{k-1}$ 上的极小多项式为 $p_k(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{m_k}p_{k,i}x^i\ (p_{k,m_k}\not=0)$，则 $$[F_k:F_{k-1}]=m_k$$ $\qquad$ 若现在已经确定了 $\sigma(a_1),\sigma(a_2),\cdots,\sigma(a_{k-1})$，那么， $\qquad \sigma(a_k)$ 在 $\sigma(F_{k-1})$ 上的极小多项式 $$\sigma(p_k(x))=\displaystyle\sum_{i=0}^{m_k}\sigma(p_{k,i})x^i$$ $\qquad$ 便也唯一确定了，其次数也为 $m_k$。$\sigma(p_k(x))$ 在其分裂域上至多有 $m_k$ 个根， $\qquad$ 因此 $\sigma(a_k)$ 的所有可能的取值总数 $\le m_k$。于是总的可能的取值总数 $$|\operatorname{Aut}(K/F)|\le\prod_{k=1}^nm_k=\prod_{k=1}^n[F_k:F_{k-1}]=[F_n:F_0]=[K:F]$$

以上讨论表明，即使 K,F 都是无限的，只要 K/F 是有限维扩张，
其伽罗瓦群 K/F 的阶也是有限的。

对于域扩张 K/F，K/F 的中间域与 \operatorname{Aut}K/F 的子群之间形成了一种对应关系，
它是伽罗瓦理论的核心，称为 伽罗瓦对应：

1. 对于 K/F 的中间域 F\subseteq E\subseteq K，\operatorname{Aut}(K/E) 显然是 \operatorname{Aut}(K/F) 的子群。
2. 对于 \operatorname{Aut} K 的子群 G，我们定义 G 的 固定域 \operatorname{Fix}(G)=\{a\in K|\forall\sigma\in G,\sigma(a)=a\}

   显然对于 \operatorname{Aut}(K/F) 的子群 H，\operatorname{Fix}(H) 是域扩张 K/F 的中间域。

为行文方便，对于域 K 的子域 F 和 \operatorname{Aut} K 的子群 G，下文中，
我们将 \operatorname{Aut}(K/F) 记为 F'，将 \operatorname{Fix}(G) 记为 G'。读者不难验证

1. F\subseteq F'',G\le G''
2. 若 F\subseteq E，则 E'\le F'；
   若 G\le H，则 H'\subseteq G'。

若域 F 满足 F''=F，则称 F （在 K 中）是 闭的；
同理，若群 G 满足 G''=G，则称 G 是 闭的。
那么，上述讨论表明，\operatorname{Fix} 是 \operatorname{Aut(K/F)} 的所有闭子群到 K/F 的所有闭中间域的双射。
并且，对于闭子群和闭中间域，扩域关系 \subseteq 和子群关系 \le 也是一一对应的。

下文的讨论将说明，若 |\operatorname{Aut}(K/F)| 有限，则 \operatorname{Aut} K/F 的所有子群也都是闭的。
同时，只要域扩张 K/F 满足一定的性质，那么，K/F 的所有中间域也都是闭的。
在此情况下 \operatorname{Fix} 将成为 \operatorname{Aut(K/F)} 的所有子群到 K/F 的所有中间域的双射，
于是无限的域论问题便可通过伽罗瓦对应转化为有限的群论问题。

伽罗瓦扩张

$\qquad$ 设其中一组不全为零的解为 $t_0,t_1,\cdots,t_n$ 。显然根据高斯消元， $\qquad$ 我们可以在保证 $t_0,t_1,\cdots,t_n$ 不全为零的同时，让非零元的数目尽可能少， $\qquad$ 然后通过缩放使得其中一个非零元为 $1$。故设 $t_0=1$ 且 $\qquad t_0,t_1,\cdots,t_n$ 是所有不全为零的解中非零元最少的。 $\qquad$ 注意到对于任意的 $\sigma,g_1,g_2\in G$，有 $$g_1\equiv_l g_2\pmod{H}\Leftrightarrow \sigma\circ g_1\equiv \sigma\circ g_2\pmod{H}$$ $\qquad$ 故 $\{\sigma\circ \sigma_1,\sigma\circ\sigma_2,\cdots,\sigma\circ\sigma_n\}$ 也是 $H$ 在 $G$ 上的一组左截面，又因为 $$g_1\equiv_l g_2\pmod{H}\Leftrightarrow\forall a\in H',g_1(a)=g_2(a)$$ $\qquad$ 故方程组 $$\begin{cases} (\sigma\circ\sigma_1)(a_0)x_0+(\sigma\circ\sigma_1)(a_1)x_1+\cdots+(\sigma\circ\sigma_1)(a_n)x_n=0\\ (\sigma\circ\sigma_2)(a_0)x_0+(\sigma\circ\sigma_2)(a_1)x_1+\cdots+(\sigma\circ\sigma_2)(a_n)x_n=0\\ \cdots\\ (\sigma\circ\sigma_n)(a_0)x_0+(\sigma\circ\sigma_n)(a_1)x_1+\cdots+(\sigma\circ\sigma_n)(a_n)x_n=0 \end{cases}\qquad(2)$$ $\qquad$ 就是方程组 $(1)$，只是各行的顺序不同。又因为 $$\sum_{i=0}^n\sigma_k(a_i)x_i=0\Leftrightarrow\sigma\left(\sum_{i=0}^n\sigma_k(a_i)x_i\right)=\sum_{i=0}^n(\sigma\circ \sigma_k)(a_i)\sigma(x_i)=0$$ $\qquad$ 故 $\sigma(t_0),\sigma(t_1),\cdots,\sigma(t_n)$ 是方程组 $(2)$ 的解，也就是方程组 $(1)$ 的解， $\qquad$ 于是 $t_0-\sigma(t_0),t_1-\sigma(t_1),\cdots,t_n-\sigma(t_n)$ 也是齐次线性方程组 $(1)$ 的解。 $\qquad$ 又注意到对于 $k\in\{0,1,\cdots,n\}$， $$t_k\in G'\Leftrightarrow \forall\sigma\in G,t_k-\sigma(t_k)=0$$ $\qquad$ 于是若存在 $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ 满足 $t_k\notin G'$， $\qquad$ 则必存在 $\sigma\in G$ 满足 $t_k-\sigma(t_k)\not=0$，此时对于 $i\not=k$， - 若 $t_i\in G'$，必有 $t_i-\sigma(t_i)=0$。因为 $t_0=1\in G'$，这样的 $i$ 一定存在。 - 若 $t_i\notin G'$，$t_i-\sigma(t_i)$ 可能为零，也可能不为零。 $\qquad$ 这就说明 $t_0-\sigma(t_0),t_1-\sigma(t_1),\cdots,t_n-\sigma(t_n)$ 也是方程组 $(1)$ 的 $\qquad$ 一组不全为零的解，且其中非零元的个数严格小于 $t_0,t_1,\cdots,t_n$ 中的非零元个数， $\qquad$ 与 $t_0,t_1,\cdots,t_n$ 中非零元个数最少矛盾。 因此必有 $t_0,t_1,\cdots,t_n\in G'$， $\qquad$而这又与方程组 $(1)$ 在域 $G'$ 上不存在不全为零的解矛盾， $\qquad$ 于是不存在 $a_0,a_1,\cdots,a_n\in K$ 线性无关，故 $$[H':G']\le n=[G:H]$$

由以上两个估计即可得到

1. 对于有限维扩张 K/F，若 F 在 K 中是闭的，
   则对于 K/F 的任意中间域 F\subseteq E\subseteq K,E 在 K 中也是闭的，且 [F':E']=[E:F]

   证明：F 在 K 中是闭的，故 F''=F。又因为 K/F 是有限扩张，

   $$[E'':F]=[E'':F'']\le [F':E']\le [E:F]$$ $\qquad E\subseteq E''$，故 $$[E'':E]=\dfrac{[E'':F]}{[E:F]}\le 1$$ $\qquad$ 因此 $[E'':E]=1$，即 $E''=E$，也即 $E$ 在 $K$ 中是闭的。此时 $$[F':E']\le [E:F]=[E'':F'']\le [F':E']$$ $\qquad$ 于是 $[F':E']=[E:F]$。

2. 对于群 G\le\operatorname{Aut} K 以及 G 的子群 H，若 H 是闭的且 [G:H] 有限，则 G 也是闭的，且 [H':G']=[G:H]

   证明与 1. 相同，此处不再赘述。
   该结论的自然推论是，因为 K'=\{\varepsilon\}（\varepsilon 为恒等置换）一定是 G 的闭子群，
   故若 |G| 有限，则 G 一定是闭的。

由此定义，若域扩张 K/F 满足 F 在 K 中是闭的，则称 K/F 为 伽罗瓦扩张。于是我们便得到了

伽罗瓦理论基本定理：对于有限维伽罗瓦扩张 K/F，

$\qquad$ 此外，对于 $K/F$ 的两个中间域 $E_1,E_2$，$E_1\subseteq E_2$ 当且仅当 $E_2'\le E_1'$，且 $$[E_2:E_1]=[E_1':E_2']$$

可分扩张与伽罗瓦扩张的判别

接下来讨论如何判别和构造伽罗瓦扩张。

我们定义，若代数扩张 K/F 满足 \forall\alpha\in K，

\forall a\in E,\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F),(\varphi(\sigma))(a)=\sigma(a) $\qquad$ 因为 $F$ 在 $K$ 中是闭的，即 - $\forall a\in F,\sigma\in \operatorname{Aut}(K/F),\sigma(a)=a

• \forall a\in\complement_K F,\exists\sigma\in \operatorname{Aut}(K/F),\sigma(a)\not=a

------------------ $\qquad$ 再证必要性。若 $E/F$ 为伽罗瓦扩张，即既正规又可分的有限维扩张。 $\qquad$ 设 $\alpha\in E$ 在 $F$ 上的极小多项式为 $p(x)\in F[x]$。 对于任意的 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$， $\qquad$ 因为 $\alpha$ 是 $p(x)$ 的一个根，故 $\sigma(\alpha)$ 是 $\sigma(p(x))=p(x)$ 的一个根。 $\qquad$ 又因为 $E/F$ 是正规扩张，故 $p(x)$ 在 $E$ 上分裂， $\qquad$ 因此 $\sigma(\alpha)\in E$，即 $E$ 对于 $K/F$ 是稳定的。

刚才的证明中我们建立了群同态 \varphi:\operatorname{Aut}(K/F)\rightarrow\operatorname{Aut}(E/F)，
根据群同态基本定理，这与 \operatorname{Aut}(K/F) 的正规子群有关。我们便有

伽罗瓦理论基本定理的推论：对于伽罗瓦扩张 K/F 的中间域 F\subseteq E\subseteq K，

$\qquad$ 且 $\operatorname{Aut}(K/E)\triangleleft\operatorname{Aut}(K/F)$ 时，可建立满同态 $\varphi:\operatorname{Aut}(K/F)\rightarrow\operatorname{Aut}(E/F) \forall a\in E,\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F),(\varphi(\sigma))(a)=\sigma(a) 证明：设 $G=\operatorname{Aut}(K/F),H=\operatorname{Aut}(K/E)$， $\qquad$ 即证明 $E$ 对于 $K/F$ 是稳定的当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群。 $\qquad$ 先证充分性。注意到 $\forall g_1,g_2\in G$， $$g_1\equiv_l g_2\pmod{H}\Leftrightarrow\exist h\in H,g_1\circ h=g_2\Leftrightarrow\forall a\in E,g_1(a)=g_2(a)$$ $$g_1\equiv_r g_2\pmod{H}\Leftrightarrow\exist h\in H,h\circ g_1=g_2\Leftrightarrow\forall a\in E,g_1^{-1}(a)=g_2^{-1}(a)$$ $\qquad$ 若 $E$ 是对于 $K/F$ 是稳定的，那么显然有 $$\forall a\in E,g_1(a)=g_2(a)\Leftrightarrow\forall a\in E,g_1^{-1}(a)=g_2^{-1}(a)$$ $\qquad$ 即 $\equiv_l\pmod{H}$ 和 $\equiv_r\pmod{H}$ 是同一个关系，也即 $H$ 是 $G$ 的正规子群。 ------- $\qquad$ 再证必要性。若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，根据正规子群的定义， $$\forall g\in G,h_1\in H,\exists h_2\in H,h_1\circ g=g\circ h_2$$ $\qquad$ 因为 $H=\operatorname{Aut}(K/E)$，以上等式两边同时代入 $a\in E$ 得 $$\forall g\in G,h_1\in H,\exists h_2\in H,h_1(g(a))=g(h_2(a))=g(a)$$ $$\forall g\in G,h\in H,h(g(a))=g(a)$$ $\qquad$ 因为 $E$ 在 $K$ 中是闭的，即 - $\forall a\in E,h\in H,h(a)=a

• \forall a\in \complement_K E,\exists h\in H,h(a)\not =a

----------- $\qquad$ 最后，根据命题中提到的群同态 $\varphi$ 的定义，有 $$\varphi(g_1)=\varphi(g_2)\Leftrightarrow \forall a\in E,g_1(a)=g_2(a)\Leftrightarrow g_1\equiv g_2\pmod{H}$$ $\qquad$ 即 $\ker \varphi=H$。 $\qquad$ 又因为 $K/E$ 是有限维正规扩张，即 $K$ 是 $E$ 上某个多项式的分裂域， $\qquad$ 故根据同构延拓定理，对于任意的 $\sigma\in\operatorname{Aut}(E/F)$， $\qquad\sigma$ 总可以延拓为 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 的某个元素， 即 $\varphi$ 是满同态。于是根据群同态基本定理， $$G/H\cong\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{Aut}(E/F)$$

根式扩张和可解群

接下来我们使用伽罗瓦理论讨论特征为 0 的域上一元 n 次方程是否存在根式解。

首先讨论多次开根后得到的扩域是什么样的。
我们定义，若域扩张 K/F 满足

则称 K/F 为 单根式扩张。

然后定义，域扩张 K/F 是 根式扩张 当且仅当满足以下两个条件之一：

• 存在中间域 F\subseteq E\subseteq K 满足 K/E 是根式扩张，而 E/F 是单根式扩张。

接下来我们定义，对于域扩张 K/F，若存在域扩张 L/K 满足 L/F 为根式扩张，
则称 K/F 为 可解扩张。

我们说 f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf_kx^k\in F[x] 存在根式解，
指的是 f(x) 的所有根可以由 F 中的元素经加、减、乘、除、开根得到。
故设 K 为 f(x) 在 F 上的分裂域，
则 f(x)（在域 F 上）根式可解当且仅当 K/F 为可解扩张。
于是相应地，称 \operatorname{Aut}(K/F) 为 多项式 f(x)（在域 F 上）的伽罗瓦群。

什么样的域扩张是可解扩张？
注意到，对于有限维扩张 K/F，设 K=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)，

满足 L/F 既是根式扩张，又是正规扩张。

接下来讨论什么样的域扩张 K/F 既是根式扩张，又是正规扩张（伽罗瓦扩张）。因为

故只需要讨论仅允许开 p 次方根（p 为素数）的情况即可。
讨论 x^p-a 的伽罗瓦群的性质，我们有

• 若特征为 0 的域 F 上包含所有 p 次单位根，单根式扩张 F(\alpha)/F 满足 \alpha\notin F,\alpha^p\in F，
  则 F(\alpha)/F 为伽罗瓦扩张，其维数为 p。

  证明：设 a=\alpha^p，则 \alpha 在 F 上的极小多项式为 x^p-a。

  $$\alpha,\omega_p\alpha,\omega_p^2\alpha,\cdots,\omega_p^{p-1}\alpha$$ $\qquad$ 是 $x^p-a$ 的 $p$ 个根。故 $F(\alpha)$ 是 $x^p-a$ 在 $F$ 上的分裂域。 $\qquad$ 又因为 $F$ 的特征为 $0$，故 $F(\alpha)/F$ 既正规又可分，即 $F(\alpha)/F$ 是伽罗瓦扩张。 $\qquad x^p-a$ 是 $p$ 次多项式，故 $[F(\alpha):F]=p$。

• 若特征为 0 的域 F 上包含所有 p 次单位根，
  伽罗瓦扩张 K/F 满足 [K:F]=p（p 为素数），
  则 \operatorname{Aut}(K/F) 为循环群，K/F 为单根式扩张。

  证明：由伽罗瓦理论基本定理，|\operatorname{Aut}(K/F)|=[K:F]=p，

  $\qquad$ 于是 $K/F$ 只有 $K$ 和 $F$ 这两个中间域，这说明 $K/F$ 是单扩张， $\qquad\complement_KF$ 中的每个元素都是其本原元。 $\qquad$ 任取 $\alpha\in\complement_KF$，设 $\operatorname{Aut}(K/F)=\{\epsilon,\sigma,\sigma^2,\cdots,\sigma^{p-1}\}$， $\qquad F$ 中 $p$ 次本原单位根为 $\omega_p$，定义 **拉格朗日预解式** $$\beta=\alpha+\omega_p\sigma(\alpha)+\omega_p^2\sigma^2(\alpha)+\cdots+\omega_p^{p-1}\sigma^{p-1}(\alpha)$$ $\qquad$ 则 $$\sigma(\beta)=\sigma(\alpha)+\omega_p\sigma^2(\alpha)+\omega_p^2\sigma^3(\alpha)+\cdots+\omega_p^{p-1}\sigma^p(\alpha)$$ $$=\omega_p^{p-1}\alpha+\sigma(\alpha)+\omega_p\sigma^2(\alpha)+\omega_p^2\sigma^3(\alpha)+\cdots+\omega_p^{p-2}\sigma^{p-1}(\alpha)=\omega_p^{-1}\beta\not =\beta$$ $$\sigma(\beta^p)=(\sigma(\beta))^p=(\omega_p^{-1}\beta)^p=\beta^p$$ $\qquad$ 故由伽罗瓦扩张的定义，$\beta\notin F$ 且 $\beta^p\in F$， $\qquad$ 这说明 $K/F$ 为单根式扩张，其生成元为 $\beta$。

注意到，我们可以先通过一次开根得到所有需要的单位根，
使得接下来如果要开 p 次方根，则所有的 p 次单位根已经在域内。
而 n 次分元域的自同构群与整数模 n 乘法群 \Z_n^{\times} 同构，可以分解为一系列循环群的笛卡尔积。
这启发我们定义所谓的 可解群。我们递归定义，一个群 G 是可解群当且仅当满足以下两个条件之一：

• |G|=1
• 存在 G 的正规子群 N，满足 N 是可解群且 G/N 为素数阶循环群。

则可解群满足以下性质：

1. 可解群的所有子群和商群都是可解群。

   证明：对于可解群 (G,*)，|G|=1 时显然。|G|>1 时，根据可解群的定义，

   $\qquad$ 考虑归纳，假设 $N$ 的所有子群和商群都是可解群， $\qquad$ 对于 $G$ 的子群 $H$，由第二同构定理得 $$(H*N)/N\cong H/(N\cap H)$$ $\qquad$ 其中，$N\cap H$ 作为 $N$ 的子群是可解群。而 $H*N$ 是 $G$ 的子群， $\qquad$ 故 $(H*N)/N$ 是 $G/N$ 的子群。$G/N$ 作为素数阶循环群， $\qquad$ 其子群要么只包含单位元，要么是它本身，故 $N\cap H$ 作为 $H$ 的子群， $\qquad$ 不仅是可解群，其对应的商群 $H/(N\cap H)$ 要么只包含单位元， $\qquad$ 要么是素数阶循环群。前者说明 $H=N$，后者符合可解群的定义， $\qquad$ 都说明 $H$ 是可解群。 $\qquad$ 在此基础上，若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则由第二同构定理得 $$(H*N)/H\cong N/(N\cap H)$$ $\qquad$ 这说明 $(H*N)/H$ 作为 $N$ 的商群是可解群。又由第三同构定理得 $$(G/H)/((H*N)/H)\cong G/(H*N)\cong(G/N)/((H*N)/N)$$ $\qquad G/N$ 作为素数阶循环群，其商群同样要么只包含单位元，要么同构于它本身， $\qquad$ 故 $(G/H)/((H*N)/H)$ 同理。于是 $G/H$ 也是可解群。

2. 对于群 G 及其正规子群 N，若 N 和 G/N 都是可解群，则 G 也是可解群。

   证明：若 |G/N|=1，则 G=N，原命题显然成立。

   $\qquad$ 满足 $K$ 是可解群且 $(G/N)/K$ 是素数阶循环群。 $\qquad$ 由第三同构定理，设 $H=\displaystyle\bigcup_{k\in K}k$，则 $$N\le H,H\triangleleft G,H/N\cong K$$ $$(G/N)/K=(G/N)/(H/N)\cong G/H$$ $\qquad$ 于是 $G/H$ 是素数阶循环群。同时，因为 $G/N$ 是可解群， $\qquad$ 故 $H/N$ 作为其子群也是可解群。又因为 $N$ 作为 $H$ 的子群也是可解群， $\qquad$ 故若原命题对 $H$ 成立，则原命题对 $G$ 也成立。 $\qquad$ 由 $|H|<|G|$ 即可归纳得到原命题对 $G$ 一定成立。

综合以上性质，我们便得到了特征为 0 的域上多项式根式可解的充要条件

伽罗瓦大定理：对于有限维伽罗瓦扩张 K/F，若 F 的特征为 0，

证明：先证必要性。若 $K/F$ 是可解扩张，设 $K$ 是 $f(x)\in F[x]$ 在 $f$ 上的分裂域。 $\qquad$ 则 $f(x)$ 存在根式解。设求解根式解的过程开了 $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 次方根， $\qquad$ 设 $n=p_1p_2\cdots p_m$，则总可以通过先加入 $n$ 次本原单位根 $\omega_n$， $\qquad$ 再开 $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 次方根的方式得到 $f(x)$ 的根式解。 $\qquad$ 设这样得到的扩域为 $L\supseteq K$，显然 $L$ 满足 $L/F$ 既是根式扩张，又是伽罗瓦扩张， $\qquad$ 且其伽罗瓦群 $\operatorname{Aut}(L/F)$ 为可解群。 $\qquad$ 由伽罗瓦理论基本定理的推论即可得到 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 是 $\operatorname{Aut}(L/F)$ 的商群， $\qquad$ 因而也是可解群。 ----------------------------------- $\qquad$ 再证充分性。若 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 是可解群，设 $[K:F]=n$， $\qquad$ $n$ 次本原单位根为 $\omega_n$，$K$ 是 $f(x)\in F[x]$ 在 $F$ 上的分裂域。那么， $\qquad F(\omega_n)$ 是 $x^n-1$ 在 $F$ 上的分裂域，$K(\omega_n)$ 是 $(x^n-1)f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域， $\qquad$ 故 $F(\omega_n)/F,K(\omega_n)/F$ 都是伽罗瓦扩张。 $\qquad$ 显然 $F(\omega_n)/F$ 是根式扩张，故只需要证明 $K(\omega_n)/F(\omega_n)$ 也是根式扩张， $\qquad$ 即可证明 $K(\omega_n)/F$ 是根式扩张，从而证明 $K/F$ 是可解扩张。 $\qquad K/F$ 是有限维扩张，故设 $K=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$， $\qquad$ 显然 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))$ 由 $\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_m)$ 唯一确定，故 $$\operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))\le\operatorname{Aut}(K/F)$$ $\qquad \operatorname{Aut}(K/F)$ 是可解群，故 $\operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))$ 作为其子群也是可解群，即存在 $$\{1_G\}=G_0\le G_1\le \cdots\le G_m=\operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))$$ $\qquad$ 满足 $G_k$ 是 $G_{k-1}$ 的正规子群且 $[G_k:G_{k-1}]$ 为素数。由伽罗瓦理论基本定理的推论， $\qquad$ 这对应 $K(\omega_n)/F(\omega_n)$ 的中间域 $$F(\omega_n)=F_m\subseteq F_{m-1}\subseteq\cdots\subseteq F_0=K\quad(\operatorname{Aut}(K/F_k)=G_k)$$ $\qquad$ 此时由拉格朗日定理，$|\operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))|$ 是 $|\operatorname{Aut}(K/F)|=n$ 的约数， $\qquad$ 相应地，$[F_{k-1}:F_k]=[G_k:G_{k-1}]$ 也是 $n$ 的约数。 $\qquad$ 又因为 $\omega_n\in F(\omega_n)$，故 $F_{k-1}/F_k$ 是单根式扩张，于是 $K(\omega_n)/F(\omega_n)$ 是根式扩张。

虽然这个证明是非构造性的，但是其给出了求一元 n 次方程 f(x)=0 的根式解的基本思路：

1. 设 f(x) 在 F 上的分裂域为 K，求出 n=|\operatorname{Aut}(K/F)|。
2. 向 F 中添加 n 次本原单位根 \operatorname{\omega_n}，然后求出 \operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n))\le\operatorname{Aut}(K/F)。
3. 根据 \operatorname{Aut}(K(\omega_n)/F(\omega_n)) 的结构开素数次方根，即可得到 f(x)=0 的解。

尽管如此，由于求解伽罗瓦群需要计算多项式的分裂域，
而求解分裂域需要用到特定域上多项式的因式分解，
使用该思路求解根式解依然是一个较为困难的问题。

练习：

1. 对于一元 n 次方程 f(x)=0\ (f(x)\in F[x])，试证明，f(x) 在 F 上的伽罗瓦群是
2. 试验证，所有的 n 元偶置换（偶排列）构成群，称为 n 元交错群，记为 A_n，
   并验证，A_2,A_3,A_4 都是可解群，而 A_5 是单群（正规子群要么是它本身，
   要么只包含单位元）。
3. 证明特征为 0 的域上一般的一元二次、三次、四次方程均存在根式解，
   而一元五次方程不存在根式解。
   进一步地，可以证明 \forall n\ge 5,A_5 是单群，试证明 n\ge 5 时,
   特征为 0 的域上的一元 n 次方程均不存在根式解。（阿贝尔-鲁菲尼定理）