【硬核】集合论 - 序数 - 第十章 - HSS&SSS&BHM&BSM

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这是这一系列的第十章，第九章在这。

急规则。

其实这个名字起的很无厘头，从他的效果来看，应该是“尽可能地扩大坏部的范围，减缓展开的速度”，所以其实不用急模式的记号更急一点。我也不知道为什么减缓速度反而要叫急。

至此 1k 行。

这一章的标题中，有 HSS 和 SSS，这两个东西是 PrSS 运用急模式得到的结果。

其实如果我命名的话，PrSS 命名成 1SS，HSS 命名成 2SS，SSS 命名成 ωSS，这是从急的范围来考虑的。

把这两个东西扩展到二维就是本文主角——BHM&BSM。

BHM 的规则如下：

  1. 行列指标从 1 开始，在 1 之前增加第 0 列；
  2. 第一行元素的父项为这个数前第一个小于这个数的数，特别地，如果这样的父项不存在，则将其父项取为该行第 0 列的元素；
  3. 一个元素的祖先项是父项的传递闭包；
  4. 其余行元素的父项为从该元素起，在该元素左边，小于该元素，且其正上方的项是该元素正上方的项的祖先项的第一个项，特别地，如果这样的父项不存在，则将其父项取为该行第 0 列的元素；
  5. 子项为父项的逆运算；
  6. 矩阵的待定坏根为最后一个非零项的父项的父项的子项，特别地，如果末列最后一个非零项不在第一行，则待定坏根正上方的元素应当是末列最后一个非零项正上方元素的祖先项；
  7. 待定坏根的预展开式为对于该待定坏根按 BMS 的规则展开一步，再在后面附加上（末列 + 阶差向量）这样一列所得到的序列；
  8. 在字典序下，预展开式小于基准式的坏根称为小根。特别地，如果这样的小根不存在，则将其父项取为该行第 0 列的小根，真正的坏根为在所有小根右侧的第一个待定坏根；
  9. 找到这些后，按 BMS 规则展开。

这便是 BHM 的规则，和 BMS 不同的地方已经加粗。

大数界还没有对 BHM 的极限的分析，但是有可能（但不大）和 BMS 极限相同。

单行 BHM HSS 的极限是 \varphi(1,0,0)。超过了 lPrSS。

BSM 和 BHM 的规则只有几项不同，但是强度却天壤之别（其实也不一定，现在有猜测说 BMS、BHM、BSM 极限其实一致，不过 SSS 的强度确实和 PrSS 和 HSS 天壤之别）。

改变：

第六条规则改为：待定坏根为末列最后一个非零项的除父项之外的祖先项的子项。特别地，如果末列最后一个非零项不在第一行，则待定坏根正上方的元素应当是末列最后一个非零项正上方元素的祖先项。

阶差向量规则的改变：对于某待定坏根来说，它所对应的阶差向量为末列和坏根的差值。特别地，对于末列最后一个非零项的元素所在列来说，该列的阶差向量取值要额外减去一；而对于在该列之下的所有列来说，其阶差向量总取为零。

单行 BSM SSS 的极限是 \psi(\psi_I(0))，超过了 hPrSS。

显然 BHM 和 BSM 超过了 0-Y。

BHM 和 BSM 的分析极为困难，接下来会给出几个已经有的分析。

BMS-BHM 分离点是 \omega2。

PrSS(1,2,1,2)=HSS(1,2,1,1,2)=SSS(1,2,1,1,2)=\omega2 PrSS(1,2,2)=HSS(1,2,1,2)=SSS(1,2,1,2)=\omega^2 PrSS(1,2,3)=HSS(1,2,2)=SSS(1,2,2)=\omega^\omega BMS(0,0)(1,1)=HSS(1,2,3)=SSS(1,2,2,3)=\varepsilon_0

这是 PrSS 的极限和 BHM-BSM 分离点。

BMS(0)(1,1)(1,1)=HSS(1,2,3,1,2,3)=SSS(1,2,2,3,1,2,2,3)=\varepsilon_1 BMS(0)(1,1)(2,0)=HSS(1,2,3,2)=SSS(1,2,2,3,2)=\varepsilon_\omega BMS(0)(1,1)(2,1)=HSS(1,2,3,2,3)=SSS(1,2,2,3,2,3)=\zeta_0 BMS(0)(1,1)(2,1)(3)=HSS(1,2,3,3)=SSS(1,2,2,3,3)=\varphi(\omega,0) BMS(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)=BHM(0)(1,1)=SSS(1,2,2,3,3,4)=\varphi(1,0,0)

4w 字。

HSS 极限。

双行 BMS 极限：BMS(0)(1,1,1)=BHM(0)(1,1)(1)(2)=SSS(1,2,3,3,4)=\psi(\Omega_\omega)。

SSS 极限：BMS(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)=BHM(0)(1,1)(1)(2)(1,1)=BSM(0,0)(1,1)=\psi(\psi_I(0))。

往后的分析寸步难行，目前的成果是 BSM(0)(1,1)(1)(1)(2)(3,1)(3)(3)=\psi(\psi_I(\omega))。

还有 BHM(0)(1,1)(2,1)(2)(2,1)(1,1)(2,1)(1)(2)(2)\le BMS(0)(1,1,1)(2,2,1)(3)。

那么 BSM 还是结束了吧。