浅谈因式分解

ToMaT · 2025-04-25 21:32:41 · 算法·理论

前言

一般情况下，我们都会在有理数集 \mathbb{Q} 中进行因式分解，但是在某些情况下，有理数集中的分解往往无法满足我们的需求，于是实数集 \mathbb{R} 和复数集 \mathbb{C} 中的因式分解应运而生。

艾森斯坦判别法

简介

艾森斯坦判别法是德国数学家费迪南・艾森斯坦（Ferdinand Eisenstein）提出的鉴别整系数多项式在有理数域上是否既约的判别方法。

内容

艾森斯坦判别法完整内容如下：\ 设 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+⋯+a_2x^2+a_1x+a_0 是一个整系数多项式。如果存在一个质数 p，使得：

1. p \mid a_i(0 \le i \le n-1,i \in \mathbb{N})
2. p \nmid a_n
3. p^2 \nmid a_0

则整系数多项式 f(x) 在有理数域上既约。

上面的内容很难理解，下面进入翻译环节。假如我们要判断一个系数都是整数的多项式 f(x) 是否能在有理数域中分解，我们可以先将看它最低次项的系数，我们要做的，是枚举最低次项所有的正质因子，找到一个属于除最高次项外所有项系数的公共正质因子，并且这个正质因子的平方不能是最低次项系数的因子，这个正质因子也不能是最高次项系数的因子，如果我们能找到这样一个数，那么 f(x) 就无法在有理数域上进行因式分解，反之则可以。

举个例子：我们要判断 f(x)=3x^2+15x+10 是否在有理数域上既约，可以先列出可能的 p：\

下面，用这三个数对比 15 的因子，发现 2 不行，于是 p 可能的值如下:\

之后，把这两个数平方，得到 1,25，发现 1 是最低此项系数的因子，于是排除，p 可能的值如下：

最后，发现 5 不是最高次项系数的因子，符合所有条件，故原式在有理数域上既约。

讲了这么多，给大家几道题练练手:\ 判断下列各式是否在有理数域上既约：

1. f(x)=3x^{5}+6x^{4}+12x^{3}+24x^{2}+48x+7
2. f(x)=2x^{6}+3x^{5}+9x^{4}+6x^{3}+15x^{2}+12x + 7
3. ## 证明 学数学，知其然，还要知其所以然，以下为艾森斯坦判别法的证明： ### 证明思路 采用反证法。假设 $f(x)$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上可约，根据高斯引理，它可以分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积，然后分析这两个多项式的系数与质数 $p$ 的关系，从而推出矛盾。

证明过程

假设 f(x) 在有理数域 \mathbb{Q} 上可约，由高斯引理可知，f(x) 可以分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积，设 f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m - 1}x^{m - 1}+\cdots +b_{1}x + b_{0}，h(x)=c_{k}x^{k}+c_{k - 1}x^{k - 1}+\cdots +c_{1}x + c_{0}，且 m,n\in\mathbb{N}^+，m < n，k < n，m + k = n。

因为 a_{0}=b_{0}c_{0}，且 p \mid a_{0}，所以p \mid b_{0} 或者 p \mid c_{0}。不妨设p \mid b_{0}，又因为 p^{2}\nmid a_{0}，所以 p\nmid c_{0}。

考虑 g(x) 的系数，由于 g(x) 的次数 m < n，设 b_{s} 是 g(x) 中第一个不被 p 整除的系数，即p\mid b_{0},p\mid b_{1},\cdots,p\mid b_{s - 1}，p\nmid b_{s}，0 < s\leqslant m。

根据已知条件，p\mid a_{s}。又因为 p\mid b_{0},p\mid b_{1},\cdots,p\mid b_{s - 1}，所以 p\mid(b_{s - 1}c_{1}+\cdots +b_{0}c_{s})。

由于 p\mid a_{s} 且 p\mid(b_{s - 1}c_{1}+\cdots +b_{0}c_{s})，那么 p\mid b_{s}c_{0}。

因为 p 是质数且 p\nmid c_{0}，根据质数的性质，可得 p\mid b_{s}，这与 p\nmid b_{s} 矛盾。

所以，假设不成立，即 f(x) 在有理数域 \mathbb{Q} 上不可约。

综上所述，艾森斯坦判别法得证。

复数集中的因式分解

常见虚单位根

复数虚单位根的计算推导

根据复数的三角形式，任何一个复数 z 都可以表示为 z = r(\cos\theta + i\sin\theta)，其中r是z的模，\theta 是z的辐角。由棣莫弗定理可知 (\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)。对于n次单位根，即满足 x^n = 1 的复数x，将1表示为三角形式 1=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)，k\in Z。设x = r(\cos\theta + i\sin\theta)，那么 x^n = r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)。可得 r^n = 1，即 r = 1；n\theta = 2k\pi，即 \theta=\frac{2k\pi}{n}，k = 0,1,2,\cdots,n - 1。所以n次单位根的计算公式为 \omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}，k = 0,1,2,\cdots,n - 1。

利用二，三次虚单位根因式分解

如果一个实系数多项式 f(x) 有一个复数根z，那么它的共轭复数(复数 a+bi 与 a-bi 共轭) \overline{z} 也是 f(x) 的根。借此，我们就可以按试根法进行因式分解。